Sejam P = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) e Q = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) . Determine um ponto C da reta P Q tal que a área do triângulo A B C seja 9 , nos casos:

b) A = - 2 ,   3 ,   4 ,   B = ( - 6 ,   - 1 ,   6 )

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar a reta P Q ta bom?

Essa reta passa por P e por Q e tem vetor diretor P Q → :

P Q → = Q - P

P Q → = ( - 2 ,   - 2 ,   1 )

Então, a equação vetorial da reta P Q vai ser:

P Q :   X = P + λ P Q →

P Q :   X = 2 ,   1 ,   - 1 + λ ( - 2 ,   - 2 ,   1 )

Olha, a gente escolheu P pra ser o ponto da equação, mas você poderia colocar Q também ta bom?

Passo 2

Agora a gente vai pegar um ponto C genérico da reta P Q , a partir da equação dela (lembra que se você tiver colocado o ponto Q como o ponto na equação, esse ponto genérico vai ser diferente, mas o resultado final é igual fechou?)

C = 2 - 2 λ ,   1 - 2 λ ,   - 1 + λ

Belezinha, agora a partir desse ponto genérico a gente vai fazer nossos cálculos da área do triângulo :D

Passo 3

Queremos que a área do triângulo seja 9 né? A gente sabe que a área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial entre A B → e A C → , então vamos encontrar esses vetores:

A B → = B - A = - 4 ,   - 4 ,   2

A C → = C - A = ( 4 - 2 λ ,   - 2 - 2 λ ,   - 5 + λ )

Fazendo o produto vetorial A B → ∧ A C → :

A B → ∧ A C → = i ^ j ^ k ^ - 4 - 4 2 4 - 2 λ - 2 - 2 λ - 5 + λ = 24 i ^ - 12 j ^ + 24 k ^

Epa, o nosso produto vetorial cancelou todos os λ ' s que tínhamos :/

Mas de qualquer forma vamos calcular a área do triângulo, vai que ela acaba dando 9 né hahaha

A B → ∧ A C → = 24 2 + - 12 2 + 24 ² = 1296 = 36

Passo 4

Calculando a área do triângulo:

A = 36 2 = 18

Poxa, a área do triângulo sempre vai ser 18, pra qualquer ponto de P Q :/

Se fosse 9, a gente diria que a área seria 9 pra todo ponto de P Q sacou?

Então, não existe nenhum ponto C em P Q que faça a área do triângulo A B C ser 9 beleza?

Resposta

b) Nenhum ponto em P Q satisfaz as condições :(

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