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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 58

Seja l 1 a reta A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e seja l 2 a reta A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Se l 1 não for paralela a l 2 e k for uma constante qualquer, a equação

A 1 x + B 1 y + C 1 + k A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

representará um número ilimitado de retas. Prove que cada uma delas contém o ponto de intersecção de l 1 e l 2 .

Passo 1

Inicialmente vamos escrever a equação de l 1 na forma reduzida.

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ⇒

B 1 y = - A 1 x - C 1 ⇒

y = - A 1 B 1 x - C 1 B 1

Agora l 2 na forma reduzida.

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ⇒

B 2 y = - A 2 x - C 2 ⇒

y = - A 2 B 2 x - C 2 B 2

Passo 2

Vamos determinar a interseção entre as retas. Para isto basta igualar as equações reduzidas das retas. Assim

- A 1 B 1 x - C 1 B 1 = - A 2 B 2 x - C 2 B 2 ⇒

A 2 B 2 x - A 1 B 1 x = C 1 B 1 - C 2 B 2 ⇒

A 2 B 2 - A 1 B 1 x = C 1 B 1 - C 2 B 2 ⇒

A 2 . B 1 - A 1 . B 2 B 1 . B 2 x = C 1 . B 2 - C 2 . B 1 B 1 . B 2 ⇒

( A 2 . B 1 - A 1 . B 2 ) x = C 1 . B 2 - C 2 . B 1 ⇒

x = C 1 . B 2 - C 2 . B 1 A 2 . B 1 - A 1 . B 2

Substituindo este valor de x em alguma das retas encontramos o y correspondente.

y = - A 2 B 2 . C 1 . B 2 - C 2 . B 1 A 2 . B 1 - A 1 . B 2 - C 2 B 2 ⇒

y = - A 2 . C 1 . B 2 B 2 . ( A 2 . B 1 - A 1 . B 2 ) + A 2 C 2 . B 1 B 2 . ( A 2 . B 1 - A 1 . B 2 ) - C 2 B 2 ⇒

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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