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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.10 - Ex. 18

Seja F x , y , z = e x sin ⁡ y + x x 2 + y 2     ;     e x cos ⁡ y + y x 2 + y 2     ;       z 2 . Mostre que o valor da integral do campo F ao longo de qualquer curva fechada C que não intercepte o eixo z é zero.

Passo 1

Faalaaa jovem que pulou essa questão porque jamais em nenhum momento da vida ia querer calcular uma integral com aqueles termos ridiculamente ridículos ali...

Mas só assusta viu. É bem tranquilona, vem comigo!

O que ele pede é basicamente que:

∫ C F   d r   = 0

Felizmente conhecemos o Tio Stokes. Uma das muitas lições que ele nos deixou, foi que não precisamos ficar sofrendo para tentar calcular uma integral com esses termos tão noiados. Sepá que nam adianta tentar, simplesmente não dá.

Portanto Stokes diz o seguinte:

∫ C F   d r   = ∬ S r o t F →   .     n →   d s

E confia em mim; esse tal de rotacional é bem mais legal do que aquele monstro lá do enunciado.

Passo 2

Vamos achar ele então, lembrando que:

r o t F → = ∇   x   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   ;   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x     ;   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Onde a gente tem o seguinte:

F x , y , z = e x sin ⁡ y + x x 2 + y 2 ⏟ F 1     ;     e x cos ⁡ y + y x 2 + y 2 ⏟ F 2     ;       z 2 ⏟ F 3

Então tudo o que precisamos fazer é obter as derivadas parciais.

Vamos lá:

∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z = 0 - 0 = 0

∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x = 0 - 0 = 0

Passo 3

E por último, esse vai ser um bocado mais complicado, vamos devagar:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Seja

F 2 = e x cos ⁡ ( y ) ⏟ F 2 * + y x 2 + y 2 ⏟ F 2 * *

A derivada em x do primeiro termo ali é tranquilo né?!

∂ F 2 * ∂ x = e x cos ⁡ y

Já a segunda é mais chatinha:

F 2 * * = y x 2 + y 2 = y x 2 + y 2 - 1

Teremos:

∂ F 2 * * ∂ x = y - 1 x 2 + y 2 - 2   2 x + 0 = - 2 x y x 2 + y 2 2

Foi? Regra da cadeia, primeiro deixa a constante, depois deriva o expoente e por último o que ta dentro do expoente.

Então:

∂ F 2 ∂ x = e x cos ⁡ y - 2 x y x 2 + y 2 2

Agora:

F 1 = e x sin ⁡ y + x x 2 + y 2

Queremos a derivada disso em relação à y ; com bastante calma:

F 1 * = e x sin ⁡ y

Então:

∂ F 1 * ∂ y = e x cos ⁡ y

E agora:

F 1 * * = x x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 - 1

Muito parecido com o F 2 * * né?!

Chegaremos em:

∂ F 1 * * ∂ y = x - 1 x 2 + y 2 - 2 2 y = - 2 x y x 2 + y 2 2

Ou seja,

∂ F 1 ∂ y = e x cos ⁡ y - 2 x y x 2 + y 2 2

E no final das contas:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

E

e x cos ⁡ y - 2 x y x 2 + y 2 2 - e x cos ⁡ y - 2 x y x 2 + y 2 2 = 0

Jesus! Tanto trabalho pra dar zero... A gente comemora ou fica puto??

Enfim:

r o t F → = 0 ; 0 ; 0

Ora, mas o que isso significa???

Significa que independente da curva cortar o eixo z (como diz no enunciado) ou não, a integral do campo sempre será zero:

∫ C F   d r = ∬ S r o t F   .     n →   d s   = 0

Thank’s Stroke!!

Resposta

Mostramos que

∫ C F   d r = 0

Para qualquer curva que não intercepte o eixo z .

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