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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.10 - Ex. 15

Calcule

∫ C 2 x y - 2 x d x + x 2 z   d y - x 2 y   d z ,  

Onde C é a curva obtida como intersecção da superfície z = 4 - x 2 - y 2 com o plano x + y = 2 . Especifique a orientação escolhida.

Passo 1

Faalaa joveeem... pronto para mais uma questãozinha que envolve o Tio Stokes??

Vamos nessa!!

Como já é de lei, vamos tentar esboçar essa superfície no espaço para enxergar onde está o diaxo da intersecção.

Se tá difícil pra você tentar esboçar a superfície, tente lembrar que:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

É a equação de uma esfera centrada na origem e de raio 2. Perceba então que quando ele nos diz que:

z = 4 - x 2 - y 2

Ele quer que nós peguemos somente a metade superior desta mesma esfera, que esta no lado positivo do eixo z .

Então teremos o seguinte:

O plano x + z = 2 é esse quadradão azul. A parte em roxo mostra mais ou menos o que seria a intersecção dos dois.

Vamos então “despoluir” essa imagem e deixar somente a superfície (S) que nos interessa:

Já aproveitando a deixa para deixar definido a orientação da curva. Perceba que ela sai de um ponto A ( 0 , 2 , 0 ) e chega num ponto B 2 , 0 , 0 .

Passo 2

Bom, o que estamos fazendo mesmo?? Tentando transformar aquela integral de linha gigante em uma integral de superfície mais simples. Certo??

Ou seja:

∫ C F →   d r   = ∬ S r o t F →   .     n →   d s

Onde F → = 2 x y z + 2 x   ⏟ F 1 ; x 2 z   ⏟ F 2 ; x 2 y ⏟ F 3 .

Beleza, então vamos obter o rotacional disso daê:

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   ;   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x     ;   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Lembra dessa formulazinha?? Se não lembrar, tente partir do determinante da matriz. Vamos chegar no seguinte resultado.

r o t F → = x 2 - x 2     ;     2 x y - 2 x y     ;   2 x z - 2 x z = 0   ; 0   ; 0

Oh God! r o t F → = 0

Mas calma! O fato da curva ser C ser fechada e o rotacional dela ser zero, só nos afirma duas coias:

  1. Que o F   é um campo Gradiente; ou seja, existe uma função f tal que:

    2. ∇ f = F .

  2. O campo é conservativo; isso significa que não importa o caminho que ele percorre, somente os pontos de partida e de chegada:

∫ C F →   d r = ∫ A B F   d r = f B - f ( A )

Ou seja, devemos encontrar esse f para então calcular a integral. O item (i) nos diz o seguinte:

∂ f x , y , z ∂ x = F 1 = 2 x y z + 2 x       ( I )

∂ f x , y , z ∂ y = F 2 = x 2 z             I I

E

∂ f x , y , z ∂ z = F 3 = x 2 y             I I I

Então brincando com esses termos podemos obter a função f .

Passo 3

Vamos lá então. Integrando I em x :

∫ ∂ f = ∫ ( 2 x y z + 2 x   ) ∂ x

Encontramos:

f x , y , z = x 2 y z + x 2 + R y , z

Lembrando que aquele R ( y , z ) transmite a possibilidade de existir um termo desconhecido só em função de y   e   z .

Perceba que se derivarmos em x , obtemos F 1 .

Beleza, agora vamos partir do pressuposto de que aquela seja realmente a verdadeira forma da função f ( x , y , z ) . Se assim for, ao integrarmos ela em relação a y devemos obter I I ; Vamos ver:

∂ f x , y , z ∂ y = x 2 z + 0 + R ' y , z

E isso aí tem que ser igual a função I I :

x 2 z + 0 + R ' y , z = x 2 z

Ou seja,

R ' y , z = 0

O que indica que essa função R   é dependente somente de z . Então temos um novo formato para a função f :

f x , y , z = x 2 y z + x 2 + R z

Vamos seguir a mesma ideia e derivar isso em termos de z ; esperamos obter a função I I I :

∂ f x , y , z ∂ z = x 2 y + 0 + R ' z

Mas,

∂ f x , y , z ∂ z = x 2 y

Portanto,

R ' z = 0 → R   é   u m a   c o n s t a n t e .

Portanto, a verdadeira forma da nossa função f é a seguinte:

f x , y , z = x 2 y z + x 2

Com isso, podemos finalmente encontrar a integral:

∫ C F →   d r = f B - f ( A )

Lembrando que denifimos lá no passo 1, B = 2,0 , 0 e A = 0,2 , 0

Então:

f B = 2 2 0 0 + 2 2 = 4

E

f A = 0 2 2 0 + 0 2 = 0

Finalmente:

∫ C F →   d r = 4 - 0 = 4

That’s all! See you!

Resposta

Concluindo:

∫ C 2 x y - 2 x d x + x 2 z   d y - x 2 y   d z = 4

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