Seja

1. Seja a curva obtida como intersecção da superfície de equação com o plano . Calcule

Especificando a orientação escolhida.

Bom, porque a gente precisou desenhar isso? Bom lembra que a gente disse que o campo era conservativo??

Ou seja, só importa os pontos de saída e de chegada. Então, devemos escolher dois pontos sob a curva em amarelo para poder calcular a integral.

Vamos fazer isso com base na intersecção, então adotando e :

Portanto:

Ou seja, teremos os seguinte pontos:

Perfeito. Lembra que:

Onde o nosso campo (não! Não é o programa) é definido assim:

Então agora só precisamos obter esse para enfim obter a resposta do exercício.

Bom, lembra que na letra A concluímos que esse é definido assim:

Então vamos abrir essa expressão:

E

Ta comigo? Vamos integrar qualquer uma daquelas expressões para tentar achar o :

Teremos:

Peraí? Da onde saiu aquele ali?? Seguinte, estamos simplesmente admitindo que possa existir uma função que não seja dependente de . Porque se ela não é dependente de a hora que derivamos ela é considerada uma constante e então desaparece.

Vamos então assumir que aquela expressão seja verdadeira; se derivarmos ela em função de esperamos obter .

Isso tem que ser igual a , então:

A única forma de isso ser verdade é se:

E então:

Encontramos:

Novamente, estamos admitindo a possibilidade de existir algo em função de ; no final das contas a nossa função tem a seguinte cara, até agora:

Agora, se derivamos isso em , vamos querer achar a função .

Huuuummm interessante, então a única possibilidade:

Integrando isso:

Obtemos:

Então no final de todo esse rolê, obtemos a seguinte forma para a função :

Ufa! Deu pra suar um bocado! Mas falta terminar o bang

Então:

Conseguimos encontrar esses aê lembrando que os nossos pontos são: .

E

Portanto:

Acho que é isso!! Haahhahaha

Até a próxima!