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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.10 - Ex. 16a

Seja F x , y , z = 2 x z + y 2     ;     2 x y + 3 y 2     ;     e z + x 2 .

  1. F é um campo conservativo no R 3 ?? Por quê??
  2. Seja C a curva obtida como intersecção da superfície de equação z = 9 - x 2 - y 2 , z ≥ - 4 com o plano y = 2 . Calcule

∫ C F   d r

Especificando a orientação escolhida.

Passo 1

E aeee? Fiirme?! Vamos para mais uma questãozinha de integrais de superfícies.

Vamos começar com a letra A. Ela nos diz para verificarmos se esse campo F é conservativo pu não.

Top demais; mas cá entre nós... o que raios é um campo conservativo??

Pensa o seguinte, quando você chega nos seus pais e fala assim: “ Quintou! To indo pro rolezão. Beijos.”

Aposto que sua mãe se segura para não te dar uns tapas, e ainda pergunta:

E ainda quer saber com quem, CPF e RG.

Então, podemos com toda a certeza do mundo dizer que as mães não são nenhum bocado conservativas.

Mas também existem exceções; algumas mães simplesmente falam: “Vai, mas se passar da meio noite e não me atender eu broto lá de pijama.”

Então de certa forma podemos dizer que essas são as mães conservativas. Elas fazem vista grossa e só querem saber de você estar de volta na hora certa.

Passo 2

Ou seja, para um campo conservativo nada mais importa, além de onde sai e onde chega.

Em outras palavras, se F   for conservativo:

∫ C F   d r = ∫ A B F   d r = f B - f A

Só interessa os pontos final e inicial. O que rolou nesse meio tempo fica nos boatos.

E dizer que um campo é conservativo também é dizer que ele é um Gradiente; ou seja, existirá uma função f , tal que:

∇ f = F

E aqui vai um Spoiler... Vamos tentar encontrar essa função f no item B dessa questão.

Bacana; falou, falou mas não disse nada. Qual é a condição para um campo ser conservativo?

De um forma bem chula, basta que o rotacional desse cara seja zero.

Passo 3

Bom, como a gente acha o rotacional mesmo?? Basta aplicar o determinante da matriz:

r o t F → = ∇   x   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   ;   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x     ;   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Assusta um pouco, mas é mamão com açúcar. Lembrando que:

F x , y , z = 2 x z + y 2 ⏟ F 1     ;     2 x y + 3 y 2 ⏟ F 2     ;     e z + x 2 ⏟ F 3 .

Então teremos o seguinte:

∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z = 0 - 0 = 0

  ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x = 2 x - 2 x = 0

E

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 y - 2 y = 0

Oras... num é que deu zero mesmo.

Portanto:

r o t F → = 0   ; 0   ; 0  

Então podemos afirmar sim, que F   é um campo conservativo.

Resposta

F é conservativo. Pois como r o t F → = 0 podemos afirmar que ele é conservativo.

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