Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 3

Seja σ : K → R 3 regular no interior de K e injetora em K ; suponha que as componentes de σ ,   x = x u , v , y = y u , v e z = z u , v , sejam de classe C 2 num aberto contendo K . Suponha que K tenha a forma abaixo, onde γ 1 : a 1 , b 1 → R 2

e γ 2 : a 2 , b 2 → R 2 são curvas simples, fechadas, C 1 por partes, sendo γ 1 orientada no sentido anti-horário e γ 2 no sentido horário e tais que a fronteira de K é igual a I m   γ 1 ∪ I m   γ 2 . Sejam Γ 1 t = σ γ 1 t ,   t ∈ a 1 , b 1 , e Γ 2 t = σ γ 2 t , t ∈ a 2 , b 2 .

Seja F → = P   i → + Q   j → + R   k → de classe C 1 num aberto contendo I m   σ e seja

n → = ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v

Prove que

∬ σ r o t   F → ⋅ n →   d S = ∫ Γ 1 F → ⋅ d r → + ∫ Γ 2 F → ⋅ d r →

Passo 1

Do Teorema de Stokes temos que dado um σ : K → R 3 uma porção de superfície regular com parametrização definida por σ ,   x = x u , v , y = y u , v e z = z u , v que são supostas de classe C 2 num aberto contendo K e tendo F → = P   i → + Q   j → + R   k → um campo vetorial de classe C 1 num aberto que contém I m   σ , então teremo que

∫ Γ F → ⋅ d r → = ∬ σ ( r o t   F → ) ⋅ n →   d S

Na qual Γ é uma curva fronteira de σ orientada positivamente em relação a normal n → .

Assim vamos tomar nossos conjuntos a baixo.

Passo 2

Perceba que iremos fazer apenas um passo do nosso problema, e todo o resto já estará praticamente resolvido.

Tome a primeira imagem e vamos mostrar que

∫ γ 1 F → ⋅ d r → + ∫ γ 2 F → ⋅ d r → = ∬ K r o t   F → ⋅ n →   d S

Assim tomemos que

∫ A B F → ⋅ d r → + ∫ B G C F → ⋅ d r → + ∫ C D F → ⋅ d r → + ∫ D E A F → ⋅ d r → = ∬ K 1 r o t   F → ⋅ n →   d S

e

∫ B A F → ⋅ d r → + ∫ A F D F → ⋅ d r → + ∫ D C F → ⋅ d r → + ∫ C H B F → ⋅ d r → = ∬ K s r o t   F → ⋅ n →   d S

Somando as duas equações, temos que

∫ A B F → ⋅ d r → = - ∫ B A F → ⋅ d r →

e

∫ A B F → ⋅ d r → = - ∫ B A F → ⋅ d r →

∫ C D F → ⋅ d r → = - ∫ D C F → ⋅ d r →

Logo só nos sobram

∫ B G C F → ⋅ d r → + ∫ C H B F → ⋅ d r → = ∫ γ 1 F → ⋅ d r →

∫ A F D F → ⋅ d r → + ∫ D E A F → ⋅ d r → = ∫ γ 2 F → ⋅ d r →

Assim temos que

∫ γ 1 F → ⋅ d r → + ∫ γ 2 F → ⋅ d r → = ∬ K 1 r o t   F → ⋅ n →   d S + ∬ K 2 r o t   F → ⋅ n →   d S = ∬ K r o t   F → ⋅ n →   d S

Passo 3

Desta forma podemos então aplicar nosso teorema de Stokes (olhar pagina 253 da 5 ª Ed)

Desta forma segue o mesmo passo que foi realizado no passo 2, mas agora indicando que estamos lidando com a segunda imagem, relativa a I m   σ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. c )F → x , y , z = y i → + x 2 j → + z k → ,σ u , v = u , v ,2 u + v + 1 ,c o mu ≥ 0eu
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. b )F → x , y , z = y i → - x 2 j → + 5 k → ,σ u , v = u , v , 1 - u 2 , c o mu ≥ 0 ,v ≥
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. d )F → x , y , z = y i → + x 2 j → + z k → ,σ é a superfície x 2 + y 2 = 1 ,0z1 ,ey ≥0
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. f )F → x , y , z = y i → ,σ é a superfície z =x 2 + y 2c o mz ≤ 1 sendo n → a normal co
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. i )F → x , y , z = - y 2 i → + x 2 j → + z 2 k → ,σ é a superfície x 2 + y 2 4 + z 2 =