Seja f(n) a soma dos n termos de uma progressão aritmética. Demonstrar que f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0.

Passo 1

Tá, a soma dos termos de uma P.A a gente pode fazer assim:

f n = a 1 + a 1 + r + a 1 + 2 r + … + a 1 + n - 1 r

= n a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n - 1 r

Então beleza, a gente vai substituir o n por n + 1 ,   n + 2 ,   n + 3   pra verificar se é verdadeiro aquilo ali.

Passo 2

f n + 1 = n + 1 a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n r

f n + 2 = n + 2 a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n + 1 r

f n + 3 = n + 3 a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n + 2 r

Show! Agora é só substituir na relação que deram.

Passo 3

f n + 3 - 3 f n + 2 + 3 f n + 1 - f n

n + 3 a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n + 2 r - 3 n + 2 a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n + 1 r + 3 n + 1 a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n r - n a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n - 1 r  

= n a 1 + 3 a 1 - 3 n a 1 - 6 a 1 + 3 n a 1 + 3 a 1 - n a 1 + 1 + 2 + … + n + 2 r - 3 1 + 2 + … + n + 1 r + 3 1 + 2 + … + n r - 1 + 2 + … + n + 1 r

=   - 3 1 + 2 + … + n r - 3 n + 1 r + 3 1 + 2 + … + n r + 1 + 2 + … + n r + n + 1 r + n + 2 r - 1 + 2 + … + n + 1 r

=   - 3 n + 1 r + 1 + 2 + … n + 1 r + n r + n + 1 r + n + 2 r - 1 + 2 + … + n + 1 r

=   - 3 n + 1 r + n r + n + 1 r + n + 2 r

=   - 3 n r - 3 r + n r + n r + r + n r + 2 r

= 0

Ufa! Conseguimos! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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