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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.7 - Ex. 3c

Seja S uma superfície descrita pela equação r → u . v = ( u . cos ⁡   v , 2 u 2 ,   u . s e n   ( v ) ) , onde 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2 π .

  1. Determinar os vetores

∂ r → ∂ u P ,     ∂ r → ∂ v P ,     ∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P

E representa-los graficamente.

Passo 1

Beleza galeraa!!

Na curva u nós temos:

r → u . π 4 = 2 2 u , 2 u 2 ,   2 2 u

Então:

∂ r → ∂ u P = 2 2 , 4 u ,   2 2

No ponto dado nós obtivemos:

u = 1

v = π 4

Substituindo:

∂ r → ∂ u P = 2 2 , 4 ,   2 2

Passo 2

Para a v-curva, teremos:

r → 1 , v = ( cos ⁡   v , 2 ,   s e n   ( v ) )

Então:

∂ r → ∂ v P = ( - s e n   v , 0 ,   cos ⁡   v )

Substituindo o v:

∂ r → ∂ v P = - 2 2 , 0 ,   2 2

Onde ∂ r → ∂ u P e ∂ r → ∂ v P representam os vetores lineares e tangentes ao ponto na superfície!

Passo 3

Para finalizar:

∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 2 2 , 4 ,   2 2 × - 2 2 , 0 ,   2 2

Para resolver multiplicações deste tipo podemos usar um macete:

a 1 , a 2 ,   a 3 × b 1 , b 2 ,   b 3 = ( a 2 b 3 -   a 3 b 2 ,     a 3 b 1 -   a 1 b 3 ,     a 1 b 2 -   a 2 b 1 )

Então:

2 2 , 4 ,   2 2 × - 2 2 , 0 ,   2 2 = 4 × 2 2 -   2 2 × 0 ,     2 2 × - 2 2 -   2 2 × 2 2 ,     2 2 × 0 -   4 × - 2 2

= 2 2 ,   - 1 ,   2 2

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 2 2 ,   - 1 ,   2 2

E representa o vetor normal à superfície neste ponto!

Tranquilinha ?!

Resposta

∂ r → ∂ u P = 2 2 , 4 ,   2 2         ∂ r → ∂ v P = - 2 2 , 0 ,   2 2       ∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 2 2 ,   - 1 ,   2 2

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