Determinar as curvas coordenadas das superfícies dadas, nos pontos indicados:.

  1. Esfera

r(u.v) = (cos(u), cos(v), sen(u) * cos(v), sen(v))

0 ≤ u ≤ 2 * pi, - pi / 2 ≤ v ≤ pi / 2 no ponto P(1/2, 1/2, raiz(2)/2).

Passo 1

Beleza galeraa!!

Sabemos que:

x = cos ⁡ u cos ⁡ v

y = sen ⁡ u cos ⁡ v

z = sen ⁡ v

No ponto dado:

z = sen ⁡ v = 2 2

v = π 4

Olhando para y:

y = sen ⁡ u cos ⁡ v = 1 2

sen ⁡ u cos ⁡ π 2 = 1 2

sen ⁡ u 2 2 = 1 2 →   sen ⁡ u = 2 2

u = π 4

Shoow !!

Agora vamos guardar esta informação!

Passo 2

Para a u-curva, teremos r → u , π 4 :

r → u . π 4 = cos ⁡ u cos ⁡ π 4 , sen ⁡ u cos ⁡ π 4 , sen ⁡ π 4

Substituindo:

r → u . π 4 = 2 2 cos ⁡ u , 2 2 sen ⁡ u , 2 2

Com u variando normalmente:

0 ≤ u ≤ 2 π

Para a v-curva, teremos r → π 4 , v :

r → π 4 , v = cos ⁡ π 4 cos ⁡ v , sen ⁡ π 4 cos ⁡ v , sen ⁡ v

Substituindo:

r → π 4 , v = 2 2 cos ⁡ v , 2 2 co s ⁡ v , sen ⁡ v

Com v variando normalmente:

- π 2 ≤ v ≤ π 2

E é isso aí, galera !!

Resposta

r → u . π 4 = 2 2 cos ⁡ u , 2 2 sen ⁡ u , 2 2

r → π 4 , v = 2 2 cos ⁡ v , 2 2 cos ⁡ v , sen ⁡ v

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