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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 25

Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão definidos como:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

d i v   f F → = f   d i v   F → +   F → ⋅ ∇ f

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Quanta informação nesse enunciado 😵 Vou organizar de um jeito que fica fácil de entender!

Primeiro, ele dá que f é um campo escalar e F → e G → são campos vetoriais.

Segundo, ele diz que as derivadas parciais desses campos existem e são contínuas.

Terceiro, ele dá umas operações com esses campos:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

Que é a multiplicação de um campo escalar por um campo vetorial.

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

Que é o produto escalar entre dois campos vetoriais.

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

Que é o produto vetorial entre dois campos vetoriais.

Essas informações serão úteis caso alguma dessas operações apareçam na hora da demonstração, aí poderemos usar elas pra resolver esses casos.

Quarto e último, ele quer que demonstremos que

d i v   f F → = f   d i v   F → +   F → ⋅ ∇ f

Em palavras, ele quer que demonstremos que o divergente da multiplicação de um campo escalar por um campo vetorial

d i v   f F →

é igual à soma

f   d i v   F → +   F → ⋅ ∇ f

Agora tudo fica mais claro né?

Lembrando que o divergente de algum vetor é o produto escalar entre ∇ e o vetor!

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ ( a , b , c )

E que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Então, para fazermos essa demonstração, vamos pegar o divergente da multiplicação de um campo escalar por um campo vetorial

d i v   f F →

E tentar chegar no outro lado da igualdade!

Poderíamos fazer o inverso também, mas é mais complicado e normalmente as questões querem que a gente use o termo da esquerda para chegar no da direita.

Ok? Bora lá?

Passo 2

Primeiro, dentro do divergente temos uma multiplicação de um campo escalar por um campo vetorial

f F →

Vamos supor que o campo vetorial F → é dessa forma aqui ó:

F → = F 1 i → + F 2 j → + F 3 k →

Agora, precisamos saber quem é f F → . Sendo f uma função escalar. Lembra dessa informação do enunciado?

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

Ela basicamente diz que a função escalar f multiplica cada componente de F → :

f F → = f F 1 i → + f F 2 j → + f F 3 k →

Muito bem! Já temos f F → , vamos para o próximo passo!

Passo 3

Agora vamos fazer

d i v f F →

Que é aplicar essa operação

∇ ⋅ f F →

∇ ⋅ f F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ f F 1 , f F 2 , f F 3

Resolvendo esse produto escalar

∇ ⋅ f F → = ∂ ∂ x ( f F 1 ) + ∂ ∂ y ( f F 2 ) + ∂ ∂ z ( f F 3 )

Agora vamos aplicar a regra do produto

f x ⋅ g x ' = f ' x g x + f x g ' x

Para cada derivada, lembrando que tanto f quanto F são funções não constantes.

∇ ⋅ f F → = f ∂ ∂ x F 1 + F 1 ∂ ∂ x f + f ∂ ∂ y F 2 + F 2 ∂ ∂ y f + f ∂ ∂ z F 3 + F 3 ∂ ∂ z f

Parece enorme, mas calma! Agora no lado direito vamos agregar o 1 º ,   3 º   e   5 º termos (que estão multiplicados por f ) e os termos 2 º ,   4 º   e   6 º

∇ ⋅ f F → = f ∂ ∂ x F 1 + f ∂ ∂ y F 2 + f ∂ ∂ z F 3 + F 1 ∂ ∂ x f + F 2 ∂ ∂ y f + F 3 ∂ ∂ z f

Tudo certo?

Passo 4

Agora, note o seguinte:

O primeiro parêntese do lado direito, se colocarmos f em evidência

f ∂ ∂ x F 1 + ∂ ∂ y F 2 + ∂ ∂ z F 3

E compararmos com

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x a + ∂ ∂ y b + ∂ ∂ z c

Vamos ver que representa o valor de

f ∇ ⋅ F →

Já o segundo parêntese, se lembrarmos que o gradiente de uma função escalar f é

∇ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

E o produto escalar entre F → e ∇ f é

F → ⋅ ∇ f = F → = F 1 i → + F 2 j → + F 3 k → ⋅ ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

F → ⋅ ∇ f = F 1 ∂ ∂ x f + F 2 ∂ ∂ y f + F 3 ∂ ∂ z f

Então podemos afirmar que

∇ ⋅ f F → = f ∇ ⋅ F → + F → ⋅ ∇ f

Que é a mesma coisa que

d i v   f F → = f   d i v   F → +   F → ⋅ ∇ f

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar 😄

Resposta

A resposta foi a demonstração ao longo dos passos.

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