Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 33
Use o Teorema de Green na forma da equação para demonstrar a primeira identidade de Green:
onde e satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de e existem e são contínuas. (A quantidade aparece na integral de linha. Essa é a derivada direcional na direção do vetor normal e é chamada derivada normal de g.)
Passo 1
E aê, galera, tudo joia?
A questão pede pra gente usar o Teorema de Green (que a gente usa pra calcular integrais de linhas) na forma dessa equação para demonstrar essa primeira identidade de Green aqui:
A equação diz que a integral de linha da componente normal de F ao longo de C é igual à integral dupla do divergente de F na região D delimitada por C, ou seja,
Passo 2
Admitindo que o campo vetorial é dado por:
Então, substituindo na equação :
Atenção agora! Temos uma identidade que é descrita dessa forma:
No nosso caso, temos que fazer a correspondência entre as funções
Assim a identidade ficará:
Passo 3
Com isso, podemos substituir o que achamos na equação do passo .
No passo temos:
E usando a identidade que calculamos no passo :
Mas sabemos que
Daí teremos:
Manipulando, chegamos a
Agora podemos isolar o que queremos:
Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D