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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 33

Use o Teorema de Green na forma da equação 13 para demonstrar a primeira identidade de Green:

∬ D f ∇ 2 g d A = ∮ C f ∇ g ⋅ n → d S - ∬ D ∇ f ⋅ ∇ g   d A

onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de f e g existem e são contínuas. (A quantidade ∇ g ⋅ n = D n   g aparece na integral de linha. Essa é a derivada direcional na direção do vetor normal n e é chamada derivada normal de g.)

Passo 1

E aê, galera, tudo joia?

A questão pede pra gente usar o Teorema de Green (que a gente usa pra calcular integrais de linhas) na forma dessa equação 13 para demonstrar essa primeira identidade de Green aqui:

∬ f ∇ 2 g   d A = ∮ f ∇ g ⋅ n →   d s - ∬ ∇ f ⋅ ∇ g d A

A equação 13 diz que a integral de linha da componente normal de F ao longo de C é igual à integral dupla do divergente de F na região D delimitada por C, ou seja,

∮ C F → ⋅ n → d S = ∬ D ∇ ⋅ F → d A

Passo 2

Admitindo que o campo vetorial é dado por:

F → = f ∇ g

Então, substituindo na equação 13 :

∮ C ( f ∇ g   ) ⋅ n → d S = ∬ D ∇ ⋅ ( f ∇ g   ) d A

Atenção agora! Temos uma identidade que é descrita dessa forma:

∇ ⋅ f F → = f ∇ ⋅ F → + F → ⋅ ∇ f

No nosso caso, temos que fazer a correspondência entre as funções

f = f

F → = ∇ g

Assim a identidade ficará:

∇ ⋅ f ∇ g = f ∇ ⋅ ∇ g + ∇ g ⋅ ∇ f

Passo 3

Com isso, podemos substituir o que achamos na equação do passo 1 .

No passo 1 temos:

∮ C f ∇ g   ⋅ n → d S = ∬ D ∇ ⋅ f ∇ g   d A

E usando a identidade que calculamos no passo 2 :

∮ C f ∇ g   ⋅ n → d S = ∬ D ( f ∇ ⋅ ∇ g + ∇ g ⋅ ∇ f ) d A

Mas sabemos que

∇ ⋅ ∇ g = ∇ 2 g

Daí teremos:

∮ C f ∇ g   ⋅ n → d S = ∬ D ( f ∇ 2 g + ∇ g ⋅ ∇ f ) d A

Manipulando, chegamos a

∮ C f ∇ g   ⋅ n → d S = ∬ D ( f ∇ 2 g ) d A + ∬ D ( ∇ g ⋅ ∇ f ) d A

Agora podemos isolar o que queremos:

∬ D f ∇ 2 g d A = ∮ C f ∇ g ⋅ n → d S - ∬ D ∇ g ⋅ ∇ f   d A

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D

Resposta

∬ D f ∇ 2 g d A = ∮ C f ∇ g ⋅ n → d S - ∬ D ∇ g ⋅ ∇ f   d A

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