Enunciado

Seja V o volume do sólido que se encontra abaixo do gráfico de f x , y = 52 - x 2 - y 2 e acima do retângulo dado por 2 ≤ x ≤ 4 , 2 ≤ y ≤ 6 . Use as linhas x = 3 e y = 4 para dividir R em sub-retângulos. Sejam L e U as somas de Riemann calculadas usando os cantos inferiores esquerdo e superior direito, respectivamente. Sem calcular os números V , L e U , organize-os em ordem crescente e explique seu raciocínio.

Passo 1

E ai, pessoal, beleza?

Essa questão pede pra gente comparar as somas de Riemann calculadas nos cantos inferior esquerdo e superior direito dos sub-retângulos ( L e U ) entre si e com o volume do sólido ( V ).

Pra isso, vamos lembrar a soma de Riemann:

S = ∑ i = 0 m ∑ j = 0 n f ( x i j * , y i j * ) ∆ A

Além disso, o volume é calculado pela soma de Riemann com m → ∞ ,   n → ∞

Para ordenar esses três valores sem calcular, vamos primeiro comparar L e U , e depois comparar os dois com o V .

Passo 2

Vamos comparar L e U observando o valor da função f x , y nos pontos amostrais de cada uma das somas de Riemann. Vamos ver então o exemplo de um sub-retângulo:

O ponto azul ( 3,4 ) se refere à soma U , enquanto o ponto verde ( 2,2 ) se refere a L . Percebemos que tanto o valor de x quanto de y do ponto de L são menores que de U .

Agora voltando à função:

f x , y = 52 - x 2 - y 2

Nessa função, quanto maiores os valores de x 2 e y 2 , menor vai ser o valor de f x , y . Como estamos em um domínio no primeiro quadrante ( x e y são positivos), isso quer dizer que quanto maiores os valores de x e y , menor o valor de f .

O que a gente conclui com isso?

Bom, de os pontos amostrais de U têm valores maiores para x e y , os cálculos de f nesses pontos serão menores, portanto, a soma de Riemann vai dar um valor menor!

Vamos observar isso pro sub-retângulo que a gente viu:

U ⇒ f 3,4 = 52 - 3 2 - 4 2 = 27

L ⇒ f 2 , 2 = 52 - 2 2 - 2 2 = 44

Como 27 < 44 , aconteceu exatamente o que a gente concluiu!

Ou seja,

L > U

Passo 3

Para comparar o V com essas somas, vamos definir o volume como o limite da soma de Riemann, usando a regra do ponto médio:

V = lim m , n → ∞ ⁡ ∑ i = 0 m ∑ j = 0 n f ( x i j - , y i j - ) ∆ A

E essa soma usando o ponto médio vai ser a melhor aproximação para o volume!

Vamos entender porque, voltando para o nosso sub-retângulo do exemplo:

Percebe que o ponto onde a função admite seu valor máximo nesse sub-retângulo é o 2,2 , e o valor mínimo é no ponto 3,4 . Isso quer dizer que a soma L está superestimando o volume do sólido, enquanto a soma U está subestimando.

A melhor aproximação, então, vai ser alguma coisa entre esses dois valores, calculando um ponto entre os dois (ponto médio, nesse caso, o 2.5,3 ).

Qual vai ser a conclusão então?

Bom, vimos que os pontos onde calculamos a melhor aproximação para V estão entre os pontos de U e L , ou seja:

L > V > U

Resposta

L > V > U

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