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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 14

Encontre int_0^2 f (x , y) d x e int_0^3 f (x , y) d y :

f (x , y) = y sqrt(x + 2)

Passo 1

Opaaa! Tudo joia?

A gente vai calcular as integrais dessa função em relação a x e depois em relação a y , beleza?

Primeiro essa aqui:

int_0^2 f (x , y) d x

Vamos jogar nossa função ali dentro:

int_0^2 y sqrt(x + 2) d x

Agora a gente vai resolver isso😊

Passo 2

A gente tá integrando em x , então o y é constante, a gente pode até retirar ele:

= y int sqrt(x + 2) d x

Agora a gente integra em x ali:

= y [(2)/(3) (x + 2)^((3)/(2))]_0^2

Aplicamos os intervalos em x :

= y [(2)/(3) (2 + 2)^((3)/(2)) - (0 + 2)^((3)/(2))]

= y [(2)/(3) ( (4)^((3)/(2)) - 2^((3)/(2)) )]

= (2)/(3) y [sqrt(4^3) - sqrt(2^3)]

= (2)/(3) y [8 - 2 sqrt(2)]

Prontinho! Essa já foi!

Passo 3

Agora a gente vai calcular int_0^3 f (x , y) d y .

Jogando nossa função ali dentro, a gente tem:

int_0^3 y sqrt(x + 2) d y

Como a gente tá integrando em y , o x a gente considera constante. No caso a gente pode considerar sqrt(x + 2) constante, certo?

Então podemos fazer isso aqui:

sqrt(x + 2) int_0^3 y d y

Aí agora a gente integra em y :

= sqrt(x + 2) [(y^2)/(2)]_0^3

= sqrt(x + 2) ((9)/(2) - (0)/(2))

= (9 sqrt(x + 2))/(2)

E com isso, acabamos mais essa! 😉

Resposta

(2)/(3) y [8 - 2 sqrt(2)] e (9)/(2) sqrt(x + 2)

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Utilize a simetria para calcular a integral dupla. ∬ R x y 1 + x 4 d A R = x , y - 1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 }
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