Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 21
Calcule a integral iterada.
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo tranquilo?
Aqui nós vamos precisar calcular a integral dupla:
Chamamos de integral iterada porque é calculada sequencialmente, resolvendo uma integral após a outra. Para resolver integrais iteradas, seguimos o procedimento de calcular “de dentro para fora”. Isso significa que começamos com a integral mais interna, a qual está em função de na nossa questão.
Primeiro, integramos a função em relação a . O resultado dessa integral se torna então o integrando da integral externa, que é em função de . Assim, o valor da integral interna é utilizado como a função a ser integrada na etapa seguinte, permitindo a resolução completa da integral dupla.
Quando a estamos integrando em função de , consideramos como constante, e quando estamos integrando em função de , consideramos constante.
Vem ver como é isso!
Passo 2
Vamos lá, pela ordem de integração, a gente vai integrar em primeiro e depois em . Lembra que aqui, vamos manter como constante.
Resolvendo a integral de cada soma:
Aplicando os limites de integração:
O resultado da nossa integral de dentro agora é o integrando da nossa integral de fora.
Passo 3
Vamos integrar em agora e pronto...
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de integração:
Realizando as simplificações:
Somando os termos, ficamos com:
Prontinho! 😊