Calcule a integral iterada.

∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y d x

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo tranquilo?

Aqui nós vamos precisar calcular a integral dupla:

∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y d x

Chamamos de integral iterada porque é calculada sequencialmente, resolvendo uma integral após a outra. Para resolver integrais iteradas, seguimos o procedimento de calcular “de dentro para fora”. Isso significa que começamos com a integral mais interna, a qual está em função de x   na nossa questão.

Primeiro, integramos a função em relação a y . O resultado dessa integral se torna então o integrando da integral externa, que é em função de x . Assim, o valor da integral interna é utilizado como a função a ser integrada na etapa seguinte, permitindo a resolução completa da integral dupla.

Quando a estamos integrando em função de x , consideramos y como constante, e quando estamos integrando em função de y , consideramos x constante.

Vem ver como é isso!

Passo 2

Vamos lá, pela ordem de integração, a gente vai integrar em y primeiro e depois em x . Lembra que aqui, vamos manter x como constante.

∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y d x

Resolvendo a integral de cada soma:

∫ 1 4 x ln ⁡ y + y 2 2 x 1 2 d x

Aplicando os limites de integração:

∫ 1 4 x   l n   2 + 4 2 x - 1 2 x d x

∫ 1 4 x ln ⁡ 2 + 3 2 x d x

O resultado da nossa integral de dentro agora é o integrando da nossa integral de fora.

Passo 3

Vamos integrar em x agora e pronto...

∫ 1 4 x ln ⁡ 2 + 3 2 x d x

Resolvendo a integral:

3 2 ln ⁡ x + ln ⁡ 2 x 2 2 1 4

Aplicando os limites de integração:

3 2 ln ⁡ 4 + 8 ln ⁡ 2 - 3 2 ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 2

Realizando as simplificações:

3 2 2 ln ⁡ 2 + 8 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2 2

3 ln ⁡ 2 + 8 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2 2

Somando os termos, ficamos com:

∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y d x = 21 ln ⁡ 2 2

Prontinho! 😊

Resposta

21 ln ⁡ 2 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados