Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?

b) f(x, y) = e^(xy) em (2, -1)

Passo 1

A ideia nessa questão é lembrar que a direção de maior taxa de crescimento é a do vetor gradiente. Então vamos começar encontrando o vetor gradiente!

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Substituindo a expressão de f :

∇ f x , y = ∂ e x y ∂ x i → + ∂ e x y ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y = y e x y   i → + x e x y   j →

Passo 2

Para o ponto 2 , - 1 :

∇ f 2 , - 1 = - 1 × e - 2   i → + 2 × e - 2   j →

Fazendo as contas:

∇ f 2 , - 1 = - e - 2   i → + 2 e - 2   j →

Então a direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto 2 , - 1 será a direção e o sentido do vetor - e - 2   i → + 2 e - 2   j → . Já a direção e sentido decresce mais rapidamente será oposto ao do vetor gradiente, portanto a do vetor e - 2   i → - 2 e - 2   j →

Resposta

A direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente: - e - 2   i → + 2 e - 2   j →

A direção e sentido a função dada decresce mais rapidamente: e - 2   i → - 2 e - 2   j →

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