Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 28

Trabalho Encontre o trabalho realizado pelo gradiente de

ƒ(x, y) = (x + y)2 no sentido anti-horário em torno da circunferência x2 + y2 = 4 de (2, 0) a si próprio.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos o trabalho realizado do gradiente de f ( x , y ) = ( y + x ) 2 no sentido antihorário em torno da circunferência y 2 + x 2 = 4 saindo de ( 2,0 ) e retornando ao ponto inicial. Para isso utilizaremos a descrição teórica da página 372 e 373 do livro.

Passo 2

Comece escrevendo a equação parametrizada de r → em C . Utilize coordenadas polares devido a simetria do problema. Assim, se x = 2 c o s ⁡ t , y = 2 s e n t .

r → = x i → + y j → = ( 2 c o s ⁡ t ) i → + ( 2 s e n ⁡ t ) j → , com  0 ≤ t ≤ 2 π .

Em seguida devemos calcular a derivada do vetor posição,

d r → d t = ( - 2 s e n ⁡ t ) i → + ( 2 c o s ⁡ t ) j →

Passo 3

Você vai precisar encontrar a função vetorial F → parametrizada. O gradiente de f ( x , y ) = ( y + x ) 2 será: ∇ ‾ f ( x , y ) = 2 ( y + x ) i → + 2 ( y + x ) j → , então teremos que:

F → = 2 ( y + x ) i → + 2 ( y + x ) j → = 4 ( c o s ⁡ t + s e n ⁡ t ) i → + 4 ( c o s ⁡ t + s e n ⁡ t ) j →

Podemos agora, calcular o produto escalar F → ⋅ d r → d t

F → ⋅ d r → d t = ( 4 ( c o s ⁡ t + s e n ⁡ t ) i → + 4 ( c o s ⁡ t + s e n ⁡ t ) j → ) ⋅ ( ( - 2 s e n ⁡ t ) i → + ( 2 c o s ⁡ t ) j → ) =   = - 8 s e n ⁡ t c o s ⁡ t + s e n 2 ⁡ t + 8 c o s 2 ⁡ t + c o s ⁡ t s e n ⁡ t = 8 c o s 2 ⁡ t - s e n 2 ⁡ t = 8 c o s ⁡ 2 t

Passo 4

A integral de linha será dada pela seguinte construção e com isso finalizamos a questão. Veja a seguir.

∫ a b   F → ⋅ d r → d t d t = ∫ 1 2   ( 8 c o s ⁡ 2 t ) d t = [ 4 s e n ⁡ 2 t ] 0 2 π = 0

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado e. F x , y , z = e y + 2 z ,x e y + 2 z ,2 x e y + 2 z
7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado c. F x , y = 3 x 2 + 2 y - y 2 e x ,2 x - 2 y e x
7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado d. F x , y , z = y + z ,x + z ,x + y
7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado f. F x , y , z = y sen ⁡ z ,x sen ⁡ z ,x y cos ⁡ z
Uma partícula se move em um campo de velocidade V x , y = x 2 ,x + y 2 . Se ela está na posição 2 ,1 no instante t = 3 , estime sua posição no instante t = 3,01 .