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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 27

Trabalho Encontre o trabalho realizado pela força F = x y i + ( y - x ) j sobre o segmento de reta de ( 1,1 ) a ( 2,3 ) .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos o trabalho realizado pela força F → = x y i ‾ + ( y - x ) j → sobre o segmento de reta que vai de ( 1,1 ) a ( 2,3 ) utilizaremos a descrição teórica da página 372 e 373.

Passo 2

Primeiramente vamos começar escrevendo a equação parametrizada de r → em C . A reta que sai de ( 1,1 ) e vai para ( 2,3 ) deve ter equação y = 2 x - 1 .Assim, se x = t , y = 2 t - 1 r → = x i → + y j → = t i → + ( 2 t - 1 ) j → , com 1 ≤ t ≤ 2 .Em seguida devemos calcular a derivada do vetor posição,

d r → d t = i → + 2 j →

Passo 3

Agora é o momento que você precisa encontrar a função vetorial F → parametrizada:

F → = x y i → + ( y - x ) j → = t ( 2 t - 1 ) i → + [ ( 2 t - 1 ) - t ] j → = 2 t 2 - t i → + ( t - 1 ) j →

Podemos agora, calcular o produto escalar F → ⋅ d r → d t

F → ⋅ d r → d t = 2 t 2 - t i ‾ + ( t - 1 ) j ‾ ⋅ ( i ‾ + 2 j ‾ ) = 2 t 2 - t + 2 t - 2 = 2 t 2 + t - 2

Passo 4

Com isso você vai finalizar o exercício e encontrar o resultado, a integral de linha será dada por:

  ∫ a b     F → ⋅ d r → d t d t = ∫ 1 2     2 t 2 + t - 2 d t = 2 t 3 3 + t 2 2 - 2 t 1 2 = 16 3 + 2 - 4 - 2 3 + 1 2 - 2 =   = 10 3 + 5 6 = 25 6

Resposta

Resposta nos passos.

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