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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 26

Calcule J C F ⋅ d r para o campo vetorial F = y i - x j no sentido anti-horário ao longo da circunferência unitária x 2 + y 2 = 1 de ( 1,0 ) a ( 0,1 )

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de linha ∫ C   F → d r → para o campo vetorial F → = y i → - x j → no sentido antihorário ao longo da circunferência unitária C : x 2 + y 2 = 1 de ( 1,0 ) a ( 0,1 ) utilizaremos a descrição teórica da página 372 e 373.

Passo 2

Inicialmente expressaremos as variáveis x , y em termos do parâmetro t . Devido a simetria do problema utilizaremos coordenadas polares.Teremos então a seguinte construção abaixo:

x = c o s ⁡ t , y = s e n ⁡ t , c o m   0 ≤ t ≤ π / 2

Comece escrevendo a equação parametrizada de r → em C .

r → = x i → + y j → = ( c o s ⁡ t ) i → + ( s e n ⁡ t ) j → , c o m   0 ≤ t ≤ π / 2

Passo 3

Em seguida devemos calcular a derivada do vetor posição,

d r → d t = ( - s e n ⁡ t ) i → - ( c o s ⁡ t ) j →

Precisamos também encontrar a função vetorial F → parametrizada:

F → = y i → - x j → = ( s e n ⁡ t ) i → - ( c o s ⁡ t ) j →

Podemos agora, calcular o produto escalar F → ∙ d r → d t

F → ⋅ d r → d t = ( ( s e n ⁡ t ) i → - ( c o s ⁡ t ) j ‾ ) ⋅ ( ( - s e n ⁡ t ) i → - ( c o s ⁡ t ) j ‾ ) = - s e n 2 ⁡ t - c o s 2 ⁡ t = - 1

Passo 4

Você encontrará o resultado final com a integral de linha que será dada por:

∫ a b   F → ⋅ d r → d t d t = ∫ 0 π / 2   ( - 1 ) d t = - π 2

Resposta

Resposta nos passos.

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