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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 28d

A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial

- y ' ' = f x

pode ser escrita na forma

y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s

Em que c 1 e c 2 são constantes arbitrárias.

B. Suponha que y   = ϕ ( x ) também satisfaz as condições de contorno   y ( 0 )   =   0 , y ( 1 )   =   0 . Mostre que, nesse caso,

c 1 = 0 ,             c 2 = ∫ 0 1 1 - s f s d s

C. Mostre que, sob as condições dos itens (a) e (b), ϕ ( x ) pode ser escrita na forma

ϕ x = ∫ 0 x s 1 - x f s d s + ∫ x 1 x 1 - s f s d s

D. Definindo

G x ,   s = s 1 - x ,           0 ≤ s ≤ x ,   x 1 - s ,           x ≤ s ≤ 1 ,

Mostre que a solução pode ser escrita na forma

ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s

Passo 1

L e t r a   D :

Vamos fazer o seguinte: vamos pegar a equação que queremos provar:

ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s       →

E trabalhar com ela até chegar a equação do item c . Você vai ver que de fato serão iguais!

Passo 2

Assumimos no tem anterior, que x varia de 0 a 1 . Como G s ,   x é definido assim:

G x ,   s = s 1 - x ,           0 ≤ s ≤ x ,   x 1 - s ,           x ≤ s ≤ 1 ,

Perceba que também s tem duas definições de intervalos de modo que podemos separar em duas equações, uma com cada intervalo de s :

ϕ x = ∫ 0 x G x ,   s f s d s + ∫ x 1 G x ,   s f s d s   →

Por definição de G ...

ϕ x = ∫ 0 x s 1 - x f s d s + ∫ x 1 x 1 - s f s d s

Viu só! Então de fato...

ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s

Resposta

Questão de demonstração.

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A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s
30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,( i ) α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 , β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0 i i tem uma solução em termos de uma função de Green y =
Em cada um dos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores. y ' ' + π 2 y = a , y ' 0 = 0 ,
30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,( i ) α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 , β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0 i i tem uma solução em termos de uma função de Green y =
Em cada um dos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansão em autofunções. y ' ' + 2 y = - x , y 0 = 0 , y ' 1 = 0 Sugestão: veja a Seção 11.2, Problema 7.