Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 28d

A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial

pode ser escrita na forma

Em que e são constantes arbitrárias.

B. Suponha que também satisfaz as condições de contorno, . Mostre que, nesse caso,

C. Mostre que, sob as condições dos itens (a) e (b), pode ser escrita na forma

D. Definindo

Mostre que a solução pode ser escrita na forma

Passo 1

Vamos fazer o seguinte: vamos pegar a equação que queremos provar:

E trabalhar com ela até chegar a equação do item . Você vai ver que de fato serão iguais!

Passo 2

Assumimos no tem anterior, que varia de a . Como é definido assim:

Perceba que também tem duas definições de intervalos de modo que podemos separar em duas equações, uma com cada intervalo de :

Por definição de ...

Viu só! Então de fato...

Resposta

Questão de demonstração.

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A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s

30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,( i ) α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 , β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0 i i tem uma solução em termos de uma função de Green y =

Em cada um dos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores. y ' ' + π 2 y = a , y ' 0 = 0 ,

30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,( i ) α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 , β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0 i i tem uma solução em termos de uma função de Green y =

Em cada um dos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansão em autofunções. y ' ' + 2 y = - x , y 0 = 0 , y ' 1 = 0 Sugestão: veja a Seção 11.2, Problema 7.