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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 22

Como você sabe que as funções sen ⁡ x , ln ⁡ x e e x não são polinômios? Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A expansão em série de Taylor da função e x , sen ⁡ x e ln ⁡ x é dada abaixo.

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + … + x n n ! . + … = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ,     p a r a   x < ∞

sen ⁡ x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … + - 1 n 2 n + 1 ! x 2 n + 1 + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! x 2 n + 1

ln ⁡ x = x - 1 - x - 1 2 2 + x - 1 3 3 - … + - 1 n + 1 x - 1 n n + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 x - 1 n n

Sabemos que um polinômio tem apenas um número finito de termos diferentes de zero em sua série de Taylor, mas as funções sen ⁡ x , ln ⁡ x e e x têm infinitos termos diferentes de zero em suas expansões de Taylor.

Resposta

As funções sen ⁡ x , ln ⁡ x e e x têm infinitos termos diferentes de zero em suas expansões de Taylor.

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Utilize a série de Taylor para 1 / ( 1-x 2 ) para obter uma série para 2 x / ( 1 - x 2 ) 2 .
Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.51. - 1 + 2 x - 3 x 2 + 4 x 3 - 5 x 4 +⋅ ⋅ ⋅
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