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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 4h

Calcule f^' ( p ) , pela definição, sendo dados

f (x) = root(3)(x) e p = 2

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão! Bom, o enunciado quer que a gente calcule a derivada dessa função usando a definição… Vamos lá!

Lembrando que a definição de derivada diz que:

Para quem não lembra, a fórmula é essa:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f ( x ))/(h - x) = underset(x -> p)(lim) (f (x) - f ( p ))/((x - p))

Aplicando para a nossa questão, ficamos com

f^' (2) = underset(x -> 2)(lim) (root(3)(x) - root(3)(2))/(x - 2)

Se aplicarmos esse limite direto, vamos cair em uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Então, agora vamos ter que determinar esse limite!

Passo 2

Então temos que fazer uns ajustes… Vamos começar com uma gambiarra: concorda que x - 2 = (root(3)(x))^3 - (root(3)(2))^3 ? Então, vamos fazer isso no nosso cálculo então:

f^' (2) = underset(x -> p)(lim) (root(3)(x) - root(3)(2))/(x - 2) = underset(x -> p)(lim) (root(3)(x) - root(3)(2))/((root(3)(x))^3 - ( root(3)(2) ) ³)

Hummm… Agora vamos pensar como podemos simplificar isso aí! Temos a diferença de dois números ao cubo, e relembrando que:

x^3 - y^3 = (x - y) . ( x^2 + x y + y^2 )

Então, podemos escrever que

(root(3)(x))^3 - (root(3)(2))^3 = (root(3)(x) - root(3)(2)) . ((root(3)(x))^2 + root(3)(x) . root(3)(2) + (root(3)(2))^2)

substituindo isso na continha:

f^' (2) = underset(x -> 2)(lim) (root(3)(x) - root(3)(2))/((root(3)(x) - root(3)(2)) . ((root(3)(x))^2 + root(3)(x) . root(3)(2) + (root(3)(2))^2))

Agora podemos cortar o numerador com uma parte do denominador, e ficaremos com:

f^' (2) = underset(x -> 2)(lim) (1)/(root(3)(x^2) + root(3)(2) root(3)(x) + root(3)(2^2))

Agora saímos da nossa indeterminação, uhuuu, então podemos resolver do jeito padrão e substituir x por 2 :

f^' (2) = underset(x -> 2)(lim) (1)/(root(3)(2^2) + root(3)(2) root(3)(2) + root(3)(2^2)) = (1)/(3 root(3)(4))

Show de bola! Conseguimos!

Vamos pra próxima?

Resposta

f^' (2) = (1)/(3 root(3)(4))

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