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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 31

underset(x -> oo)(lim) underset()((2 x^((5)/(3)) - x^((1)/(3)) + 7)/(x^((8)/(5)) + 3 x + sqrt(x)) )

Passo 1

Temos que calcular um limite no infinito, certo? 

Então temos que se ligar que assim como nos outros cálculos de limites, podemos usar aquelas regras: do produto, da soma, do quociente e etc...

Antes da gente começar se ligue numa coisa rapidinho: sqrt(x) = x^((1)/(2))

Então,

underset(x -> oo)(lim) underset()((2 x^((5)/(3)) - x^((1)/(3)) + 7)/(x^((8)/(5)) + 3 x + sqrt(x)) ) = underset(x -> oo)(lim) underset()((2 x^((5)/(3)) - x^((1)/(3)) + 7)/(x^((8)/(5)) + 3 x + x^((1)/(2))) )

Como estamos numa divisão de polinômios, vamos dividir todo mundo pela maior potencia de x do denominador, beleza?

underset(x -> oo)(lim) underset()(((2 x^((5)/(3)))/(x^((1)/(2))) - (x^((1)/(3)))/(x^((1)/(2))) + (7)/(x^((1)/(2))))/((x^((8)/(5)))/(x^((1)/(2))) + (3 x)/(x^((1)/(2))) + (x^((1)/(2)))/(x^((1)/(2)))) = underset(x -> oo)(lim) underset()(((2 x^((5)/(3)))/(x^((1)/(2))) - (x^((1)/(3)))/(x^((1)/(2))) + (7)/(x^((1)/(2))))/((x^((8)/(5)))/(x^((1)/(2))) + (3 x)/(x^((1)/(2))) + (x^((1)/(2)))/(x^((1)/(2)))) ) = ) underset(x -> oo)(l i m) underset()((2^((1)/(15)) - (1)/(x^((19)/(15))) + (7)/(x^((8)/(5))))/((1)/(x^((11)/(10))) + (3)/(x^((3)/(5))) + 1) )

Passo 2

No nosso caso, como temos uma divisão, vamos usar primeiro a regra do quociente, então  

= underset(x -> oo)(l i m) underset()((2^((1)/(15)) - (1)/(x^((19)/(15))) + (7)/(x^((8)/(5))))/((1)/(x^((11)/(10))) + (3)/(x^((3)/(5))) + 1) = underset()((underset(x -> oo)(l i m) ( 2^((1)/(15)) - (1)/(x^((19)/(15))) + (7)/(x^((8 ))/(5))))/(underset(x -> oo)(l i m) ( (1)/(x^((11)/(10))) + (3)/(x^((3)/(5))) + 1 )) = ) )

Passo 3

Usando a regra da soma: o limite da soma é a soma dos limites e da subtração (só trocar a palavra soma na regra anterior)

(underset(x -> oo)(l i m) ( 2^((1)/(15)) - (1)/(x^((19)/(15))) + (7)/(x^((8 ))/(5))))/(underset(x -> oo)(l i m) ( (1)/(x^((11)/(10))) + (3)/(x^((3)/(5))) + 1 )) = underset()((underset(x -> oo)(l i m) 2^((1)/(15)) - underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^((19)/(15))) + underset(x -> oo)(l i m) (7)/(x^((8)/(5))))/(underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^((11)/(10))) + underset(x -> oo)(l i m) (3)/(x^((3)/(5))) + underset(x -> oo)(l i m) 1 )) )

Passo 4

Substituindo os limites, temos

(underset(x -> oo)(l i m) 2^((1)/(15)) - underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^((19)/(15))) + underset(x -> oo)(l i m) (7)/(x^((8)/(5))))/(underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x^((11)/(10))) + underset(x -> oo)(l i m) (3)/(x^((3)/(5))) + underset(x -> oo)(l i m) 1 )) = oo

Resposta

underset(x -> oo)(lim) underset()((2 x^((5)/(3)) - x^((1)/(3)) + 7)/(x^((8)/(5)) + 3 x + sqrt(x)) ) = oo

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