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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.Exercícios práticos - Ex. 35

Sejam f ( x ) = (1)/(x) e g ( x ) = (1)/(sqrt(x + 2)) . Determine

  1. f @ g ( - 1 )
  2. g @ f ( 2 )
  3. f @ f ( x )
  4. g @ g ( x )

Passo 1

E aí! Pra essa questão precisamos lembrar de funções inversas:

f @ g ( x ) = f ( g ( x ) ) e g @ f ( x ) = g ( f ( x ) ) . Bora lá?

Passo 2

  1. f @ g ( - 1 ) = f ( g ( - 1 ) )

Vamos ver quanto vale g ( - 1 ) pra gente poder jogar o valor dele onde tiver x dentro da f .

g ( x ) = (1)/(sqrt(x + 2)) -> g ( - 1 ) = (1)/(sqrt(- 1 + 2)) = (1)/(sqrt(1)) = 1

Vamos jogar 1 onde tiver x :

f ( x ) = (1)/(x) = (1)/(1) = 1

f @ g ( - 1 ) = 1

Passo 3

(b) g @ f ( 2 ) = g ( f ( 2 ) )

Vamos ver quanto vale f ( 2 ) pra gente poder jogar o valor dele onde tiver x dentro da g .

f ( x ) = (1)/(x) -> f ( 2 ) = (1)/(2)

Vamos jogar (1)/(2) onde tiver x :

g ( x ) = (1)/(sqrt(x + 2)) = (1)/(sqrt((1)/(2) + 2)) = (1)/(sqrt((5)/(2))) = (1)/((sqrt(5))/(sqrt(2)))

Pela propriedade de divisão de frações (repete a primeira e multiplica pela segunda invertida):

= (sqrt(2))/(sqrt(5)) = sqrt((2)/(5))

g @ f ( 2 ) = sqrt((2)/(5))

Passo 4

(c ) f @ f ( x ) = f ( f ( x ) )

Onde tiver x na f a gente vai escrever f ( x ) , belê?

f ( x ) = (1)/(x) -> f ( f ( x ) ) = (1)/(f ( x )) -> f ( (1)/(x) ) = (1)/((1)/(x)) = x para x != 0

f @ f ( x ) = x

Passo 5

(e) g @ g ( x ) = g ( g ( x ) )

Onde tiver x na g a gente vai escrever g ( x ) , belê?

g ( x ) = (1)/(sqrt(x + 2)) -> g ( g ( x ) ) = (1)/(sqrt(g ( x ) + 2)) -> g ( (1)/(sqrt(x + 2)) ) = (1)/(sqrt((1)/(sqrt(x + 2)) + 2)) = (1)/(sqrt((1 + 2 sqrt(x + 2))/(sqrt(x + 2)))) = (1)/((sqrt(1 + 2 sqrt(x + 2)))/(root(4)(x + 2))) (ali no denominador eu tirei o mmc)

Pela propriedade de divisão de frações (repete a primeira e multiplica pela segunda invertida):

g @ g ( x ) = g ( (1)/(sqrt(x + 2)) ) = (root(4)(x + 2))/(sqrt(1 + 2 sqrt(x + 2)))

Acabouu! É tetraa!

Resposta

  1. f @ g ( - 1 ) = 1
  2. g @ f ( 2 ) = sqrt((2)/(5))
  3. f @ f ( x ) = x para x != 0
  4. g @ g ( x ) = (root(4)(x + 2))/(sqrt(1 + 2 sqrt(x + 2)))
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Determine os domínios e as imagens de f , g , f + g , f * g f (x) = sqrt(x + 1) g (x) = sqrt(x - 1)
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Determine os domínios e as imagens de f , g , f + g , f * g f (x) = x g (x) = sqrt(x - 1)