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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 12-a

12 . a . Sejam u e v dois campos vetoriais de classe C1 em ℝ 3 ; seja B uma esfera com fronteira σ e normal exterior . Suponha que r o t   u =   r o t   v   e   d i v   u =   d i v   v . Suponha, ainda, que u · v   =   v · u sobre σ. Prove que u = v em B.(Sugestão: Observe que existe f : ℝ 3 → ℝ tal que ∇ f   = u   - v e utilize o item c do exercício anterior.

Passo 1

Para Provar esse ideia precisaremos do item b) da questão anterior

∫ ∫ σ f ∂ g ∂ n     d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 g + ∇ f ⋅ ∇ g   d V

Que podemos escrever como

∫ ∫ σ f ( ∇ g ⋅ n )   d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ .   ∇ g + ∇ f ⋅ ∇ g   d V

Passo 2

Vamos substituir pelos nossos vetores u e v

∫ ∫ σ u ( ∇ v ⋅ n )   d S = ∫ ∫ ∫ B u ∇ .   ∇ v + ∇ u ⋅ ∇ v   d V

E o enunciado nos diz que

∇ u = ∇ v

Logo a igualdade fica

∫ ∫ σ u ( ∇ v ⋅ n )   d S = ∫ ∫ ∫ B u ∇ .   ∇ u + ∇ u ⋅ ∇ u   d V =   ∫ ∫ ∫ B u ∇ 2 u + | ∇ u   | 2     d V

O que mostra que estamos trabalhando com o mesmo vetor

u = v

Visto que esse resultado acima só é possível se satisfizer a igualdade abaixo

∫ ∫ σ f ∂ f ∂ n     d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 f + ∇ f 2   d V

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução : )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja u → um campo vetorial de classe C 2 num aberto Ω ⊂ R 3 e seja B ⊂ Ω um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Seja σ a fronteira de B , com normal n → apontando para fora de B . Cal
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: d )B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 ≤ 1 ,x 2 + y 2 ≤ z ≤ 5 - x 2 - y 2 } e u → = 3 x y i → - 3 2 y 2 j → + z k → .
11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Proveb. ∫ ∫ σ f ∂ g ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 g + ∇ f ⋅ ∇ gd V
9. Seja Ω um aberto de ℝ 3 e seja u um campo vetorial de classe C1 em Ω. Suponha que ∫ ∫ σ u → ⋅ n →d S = 0 para toda superfície esférica σ, com normal exterior u , contida em Ω. Prove, então, que u é