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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 7d

Calcule ∬ σ u → ⋅ n →   d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo:

d )   B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 ≤ 1 ,   x 2 + y 2 ≤ z ≤ 5 - x 2 - y 2 } e u → = 3 x y i → - 3 2 y 2 j → + z k → .

Passo 1

Vamos aplicar o teorema de Gauss:

∬ σ u → ⋅ n →   d S = ∭ B d i v   u →   d x d y d z

Vamos calcular o divergente então:

d i v   u → = 3 y - 3 y + 1

= 1

Ou seja, nossa integral se resumiu a:

∭ B 1   d x d y d z

Que é o mesmo que calcular o volume de B . Vamos ver isso então...

Passo 2

Vamos jogar isso pra coordenadas polares:

x = ρ cos ⁡ θ y = ρ s e n   θ z = z → x 2 + y 2 = ρ 2

Vamos ver os intervalos:

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

ρ 2 ≤ z ≤ 5 - ρ 2

Agora a gente monta a integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ ρ 2 5 - ρ 2 ρ   d z d ρ d θ

Passo 3

Vamos desenvolver agora:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 5 - ρ 2 - ρ 2 d ρ d θ

= ∫ 0 2 π 5 ρ 2 2 - 2 ρ 4 4 0 1 d θ

= ∫ 0 2 π 5 2 - 2 4   d θ

= ∫ 0 2 π 4 2 d θ

= 2   2 π = 4 π

Prontinho! Essa é a integral que procurávamos😉

Resposta

4 π

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(Divergente em coordenadas polares) Seja Ω um campo aberto no semiplano y0 e seja F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , x , y ∈ Ω , com PeQ de classe C 1 . Seja P 1 θ ,ρ = P x , y e Q 1 θ ,ρ = Q x ,
Seja F → = P i → + Q j → uma campo vetorial de R 2e mR 2 , com PeQ diferenciáveis. Sejam u → = cos ⁡ αi → + s e nαj → e v → = - s e nα i → + cos ⁡ αj → , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja s , t as coord
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: b )B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,z ≥ x + y } e u → = - 2 x y i → + y 2 j → + 3 z k → .
Seja F → x , y , z = ( x + y + z 2 ) k → e seja σ a fronteira do cilindro x 2 + y 2 ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ 3 .Calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S onde n → é a normal que aponta para fora do cilindro.
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: c )B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 } e u → = x i → + y j → + z 2 k → .