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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 11-b

11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Prove

b.

∫ ∫ σ f ∂ g ∂ n     d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 g + ∇ f ⋅ ∇ g   d V

Passo 1

Sabemos pelo teorema de Gauss que

∫ ∫ σ F → ⋅ n →   d S =   ∫ ∫ ∫ V ∇   .     F →   d V

Logo se

F → = f   ∂ g ∂ n

Teremos uma derivada direcional e podemos usar de propriedade que nos diz

f ∂ g ∂ n = f ( ∇ g ⋅ n )  

Entao teremos

∫ ∫ σ f ( ∇ g ⋅ n )   d S = ∫ ∫ ∫ B ∇   . f ( ∇ g )   d V

Passo 2

E uma das propriedades de ∇   diz que

∇   . f ∇ g =   f ∇ 2 g + ∇ f ⋅ ∇ g

Entao por fim

∫ ∫ σ f ( ∇ g ⋅ n )   d S = ∫ ∫ ∫ B ∇   . f ( ∇ g )   d V   = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 g + ∇ f ⋅ ∇ g   d V

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja σ o gráfico de f ( x , y ) = x 2 + y 2 ,x 2 + y 2 ≤ 1 e seja n → a normal a σ com componente z ≤ 0 . Seja F → x , y , z = x 2 y i → - x y 2 j → + k → , calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S ,
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: B = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ xe0 ≤ z ≤ 4 } e u → = x y i → + y z j → + z 2 k → .
Seja r → = x i → + y k → + z k → e seja B um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Prove: v o lB = 1 3 ∬ σ r → ⋅ n →d S Onde σ é a fronteira de B com normal exterior n → .
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: e )B é o paralelepípedo 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1e0 ≤ z ≤ 1 e u → = x 3 i → + y 3 j → + z 3 k → .
Seja F → x , y , z = x y 2 i → + x y zj → + z - y 2 z - 1 2 x z 2 k → e seja σ a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 , sendo n → a normal com componente z ≥ 0 . Calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S .