9. Seja Ω um aberto de ℝ 3 e seja u um campo vetorial de classe C1 em Ω. Suponha que

∫ ∫ σ u → ⋅ n →   d S = 0  

para toda superfície esférica σ, com normal exterior u , contida em Ω. Prove, então, que u é solenoidal, isto é, div u = 0 em Ω.

Passo 1

Vamos usar o teorema de Gauss para resolver essa questão

∫ ∫ σ F → ⋅ n →   d S =   ∫ ∫ ∫ V ∇   .     F →   d V

Nosso enunciado diz que

∫ ∫ σ u → ⋅ n →   d S = 0

Então por Gauss sabemos que

∫ ∫ σ u → ⋅ n →   d S =   ∫ ∫ ∫ V ∇   .     u →   d V =   0

E como estamos numa superfície fechada, a integral Volumétrica seria impossível resultar em nulo. Então somos forçados a concluir que

∇   .   u → = 0

Essa conclusão diz também que a não ser que u → = 0

∇   .   u → = 0 →   ∇ ×   u → ≠ 0

O que nos dá uma função solenoidal.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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