Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 9
9. Seja Ω um aberto de ℝ 3 e seja um campo vetorial de classe C1 em Ω. Suponha que
para toda superfície esférica σ, com normal exterior , contida em Ω. Prove, então, que é solenoidal, isto é, div = 0 em Ω.
Passo 1
Vamos usar o teorema de Gauss para resolver essa questão
Nosso enunciado diz que
Então por Gauss sabemos que
E como estamos numa superfície fechada, a integral Volumétrica seria impossível resultar em nulo. Então somos forçados a concluir que
Essa conclusão diz também que a não ser que
O que nos dá uma função solenoidal.
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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5. Seja v → um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω = ℝ3 - {(0, 0, 0),(1, 1, 1)} e tal que div v → = 0 em Ω. Sejam σ 1e σ 2 superfícies esféricas de centros (0, 0, 0) e (1, 1, 1), respectivamente,
11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Provea. ∫ ∫ σ ∂ g ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B ∇ 2 gd V
11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Provec. ∫ ∫ σ f ∂ f ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 f + ∇ f 2d V
10. Sejam r= x ,y ,z e r=| |r | | . Seja σ uma superfície esférica, com normal exteriorCalcule ∫ ∫ σ r → ⋅ n → r 3 d S
6. Seja v → um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω e tal que div v → = 0 em Ω. Seja B ⊂ Ω um compacto em forma de “tubo” (veja figura) ao qual o teorema da divergência se aplica. Sejam σ 1 e σ2 as