Seja u → um campo vetorial de classe C 2 num aberto Ω ⊂ R 3 e seja B ⊂ Ω um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Seja σ a fronteira de B , com normal n → apontando para fora de B . Calcule.

∬ σ r o t   u → ⋅ n →   d S

Passo 1

Bom, pelo enunciado nós temos que o teorema da divergência se aplica. Então, usando ele a gente tem:

∬ σ r o t   u → ⋅ n →   d S = ∭ B d i v   r o t   u → d x d y d z

Só que a gente provou lá atrás (na seção 2.4, exercício 9(e)) que d i v   r o t   u → = 0 . Ou seja, nossa integral virou:

∭ B 0   d x d y d z = 0

Então:

∬ σ r o t   u → ⋅ n →   d S = 0

Prontinho!

Resposta

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