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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 27

Sejam F 1 e F 2 dois pontos fixos e distintos do plano. O lugar geométrico dos pontos x , y cuja soma das distâncias a F 1 e F 2 é sempre igual a 2 k ( 2 k > distância de F 1 a F 2 ) denomina-se elipse de focos F 1 e F 2 e semi-eixo maior k .

  1. Verifique que x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 é a equação da elipse de focos - c , 0 e c , 0 e semi-eixo maior a , onde b 2 = a 2 - c 2
  2. Verifique que x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 é a equação da elipse de focos 0 , - c e 0 , c e semi-eixo maior b , onde a 2 = b 2 - c 2
  3. Desenhe os lugares geométricos descritos nos itens (a) e (b)

Passo 1

  1. Vamos calcular as distâncias do ponto x , y aos pontos - c , 0 e c , 0 e igualar a 2 k :

    2. Temos que a fórmula da distânia entre dois pontos é:

    d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2

    A distância entre o ponto x , y e o ponto - c , 0 vai ser:

    x 1 = x e y 1 = y

    x 0 = - c e y 0 = 0

    d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2 = x - - c 2 + y - 0 2 = x + c 2 + y 2 = x + c 2 + y 2

    Agora a distância entre o ponto x , y e o ponto c , 0 vai ser:

    x 1 = x e y 1 = y

    x 0 = c e y 0 = 0

    d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2 = x - c 2 + y - 0 2 = x - c 2 + y 2 = x - c 2 + y 2

    Passo 2

    Substituindo ficamos com:

    x + c 2 + y 2 + x - c 2 + y 2 = 2 k

    Agora vamos manipular um pouco essa expressão:

    x + c 2 + y 2 + x - c 2 + y 2 = 2 k ↔ x + c 2 + y 2 = 2 k - x - c 2 + y 2

    Vamos elevar os dois lados da igualdade ao quadrado:

    x + c 2 + y 2 = 2 k - x - c 2 + y 2 ↔ x + c 2 + y 2 2 = 2 k - x - c 2 + y 2 2 ↔ x + c 2 + y 2 = 4 k 2 - 4 k x - c 2 + y 2 + x - c 2 + y 2

    Agora vamos tentar simplificar a equação:

    x + c 2 + y 2 = 4 k 2 - 4 k x - c 2 + y 2 + x - c 2 + y 2 ↔ x 2 + 2 c x + c 2 = 4 k 2 - 4 k x - c 2 + y 2 + x 2 - 2 c x + c 2 ↔ 2 c x + 2 c x = 4 k 2 - 4 k x - c 2 + y 2 ↔ 4 c x - 4 k 2 = - 4 k x - c 2 + y 2 ↔ - c x + k 2 = k x - c 2 + y 2

    Vamos elevar novamente ao quadrado:

    - c x + k 2 = k x - c 2 + y 2 ↔ - c x + k 2 2 = k x - c 2 + y 2 2 ↔ c 2 x 2 - 2 c x k 2 + k 4 = k 2 x - c 2 + y 2 ↔ c 2 x 2 - 2 c k 2 x + k 4 = k 2 x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 ↔ c 2 x 2 - 2 c x k 2 + k 4 = k 2 x 2 - 2 c k 2 x + k 2 c 2 + k 2 y 2 ↔ k 4 - k 2 c 2 = k 2 x 2 + k 2 y 2 - c 2 x 2 ↔ k 2 k 2 - c 2 = x 2 k 2 - c 2 + k 2 y 2

    Fazendo k = a , b 2 = k 2 - c 2 e simplificando:

    k 2 k 2 - c 2 = x 2 k 2 - c 2 + k 2 y 2 ↔ a 2 b 2 = x 2 b 2 + a 2 y 2 ↔ a 2 b 2 a 2 b 2 = x 2 b 2 a 2 b 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 ↔ 1 = x 2 a 2 + y 2 b 2

    Pronto, achamos o que queríamos.

    Passo 3

  2. Vamos calcular as distâncias do ponto x , y aos pontos 0 , - c e 0 , c e igualar a 2 k :

    3. Temos que a fórmula da distânia entre dois pontos é:

    d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2

    A distância entre o ponto x , y e o ponto 0 , - c vai ser:

    x 1 = x e y 1 = y

    x 0 = 0 e y 0 = - c

    d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2 = x - 0 2 + y - - c 2 = x 2 + y + c 2 = x 2 + y + c 2

    Agora a distância entre o ponto x , y e o ponto 0 , c vai ser:

    x 1 = x e y 1 = y

    x 0 = 0 e y 0 = c

    d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2 = x - 0 2 + y - c 2 = x 2 + y - c 2 = x 2 + ( y - c ) 2

    Passo 4

    Substituindo ficamos com:

    x 2 + y + c 2 + x 2 + ( y - c ) 2 = 2 k

    Agora vamos manipular um pouco essa expressão:

    x 2 + y + c 2 + x 2 + ( y - c ) 2 = 2 k ↔ x 2 + y + c 2 = 2 k - x 2 + ( y - c ) 2

    Vamos elevar os dois lados da igualdade ao quadrado:

    x 2 + y + c 2 = 2 k - x 2 + ( y - c ) 2 ↔ x 2 + y + c 2 2 = 2 k - x 2 + ( y - c ) 2 2 ↔ x 2 + y + c 2 = 4 k 2 - 4 k x 2 + ( y - c ) 2 + x 2 + y - c 2

    Agora vamos tentar simplificar a equação:

    x 2 + y + c 2 = 4 k 2 - 4 k x 2 + ( y - c ) 2 + x 2 + y - c 2 ↔ y 2 + 2 y c + c 2 = 4 k 2 - 4 k x 2 + ( y - c ) 2 + y 2 - 2 y c + c 2 ↔ 2 y c = 4 k 2 - 4 k x 2 + ( y - c ) 2 - 2 y c ↔ 2 y c = 4 k 2 - 4 k x 2 + ( y - c ) 2 - 2 y c ↔ 2 y c + 2 y c - 4 k 2 = - 4 k x 2 + ( y - c ) 2 ↔ - 4 y c + 4 k 2 = 4 k x 2 + ( y - c ) 2 ↔ - y c + k 2 = k x 2 + ( y - c ) 2

    Vamos elevar novamente ao quadrado:

    - y c + k 2 = k x 2 + ( y - c ) 2 ↔ - y c + k 2 2 = k x 2 + ( y - c ) 2 2 ↔ c 2 y 2 - 2 c y k 2 + k 4 = k 2 x 2 + y - c 2 ↔ c 2 y 2 - 2 c y k 2 + k 4 = k 2 x 2 + y 2 - 2 c y + c 2 ↔ c 2 y 2 - 2 c y k 2 + k 4 = k 2 x 2 + k 2 y 2 - 2 c k 2 y + k 2 c 2 ↔ k 4 - k 2 c 2 = k 2 x 2 + k 2 y 2 - c 2 y 2 ↔ k 2 k 2 - c 2 = k 2 x 2 + y 2 k 2 - c 2

    Fazendo k = b , a 2 = k 2 - c 2 e simplificando:

    k 2 k 2 - c 2 = k 2 x 2 + y 2 k 2 - c 2 ↔ b 2 a 2 = b 2 x 2 + y 2 a 2 ↔ b 2 a 2 b 2 a 2 = b 2 x 2 b 2 a 2 + y 2 a 2 b 2 a 2 ↔ 1 = x 2 a 2 + y 2 b 2

    Pronto, achamos o que queríamos.

    Passo 5

  3. O desenho geométrico da letra a) é:

E o da letra b) é:

Resposta

c) O desenho geométrico da letra a):

O desenho geométrico da letra b):

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