Suponha que r → : R → R 3 seja derivável até a 2ª ordem e que, para todo t ≥ 0 r → t = t Prove que, em [ 0 , + ∞ [ d r → d t ⋅ d r → d t = - r → ⋅ d 2 r → d t 2 Seja θ o ângulo entre r → e d 2 r → d t 2 . Conclua que π 2 ≤ θ ≤ π .

Enunciado

Se derivarmos em ambos os lados, usando a regra do produto no produto escalar

Pela propriedade comutativa do produto escalar

Derivando novamente

Antes de tudo, vamos estabelecer que o maior ângulo entre 2 vetores é ou , já que ângulos maiores podem ser representados com um ângulo entre e no outro sentido.

Partindo da última igualdade do item a

Usando o cálculo do produto escalar temos

Como estamos trabalhando com normas, temos que

Então, seguindo a igualdade . Para isso, temos que (no intervalo entre e ) o ângulo é negativo somente no intervalo

Ei, a resposta está no passo a passo :)