Suponha que seja derivável até a 2ª ordem e que, para todo
- Prove que, em
- Seja o ângulo entre e . Conclua que .
Passo 1
- Temos , sabemos da propriedade , então
- Antes de tudo, vamos estabelecer que o maior ângulo entre 2 vetores é ou , já que ângulos maiores podem ser representados com um ângulo entre e no outro sentido.
Se derivarmos em ambos os lados, usando a regra do produto no produto escalar
Pela propriedade comutativa do produto escalar
Derivando novamente
Passo 2
Partindo da última igualdade do item a
Usando o cálculo do produto escalar temos
Como estamos trabalhando com normas, temos que
Então, seguindo a igualdade . Para isso, temos que (no intervalo entre e ) o ângulo é negativo somente no intervalo
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)