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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 5

Suponha que r → : R → R 3 seja derivável até a 2ª ordem e que, para todo t ≥ 0

r → t = t

  1. Prove que, em [ 0 , + ∞ [

    2. d r → d t ⋅ d r → d t = - r → ⋅ d 2 r → d t 2

  2. Seja θ o ângulo entre r → e d 2 r → d t 2 . Conclua que π 2 ≤ θ ≤ π .

Passo 1

  1. Temos r → t = t , sabemos da propriedade r → ⋅ r → = r → 2 , então

    2. r → ⋅ r → = t

    Se derivarmos em ambos os lados, usando a regra do produto no produto escalar

    d r → d t ⋅ r → + r → ⋅ d r → d t = 1

    Pela propriedade comutativa do produto escalar

    2   r → ⋅ d r → d t = 1

    r → ⋅ d r → d t = 1 2

    Derivando novamente

    d r → d t ⋅ d r → d t + r → ⋅ d 2 r → d t 2 = 0

    d r → d t ⋅ d r → d t = - r → ⋅ d 2 r → d t 2

    Passo 2

  2. Antes de tudo, vamos estabelecer que o maior ângulo entre 2 vetores é 180 ° ou π , já que ângulos maiores podem ser representados com um ângulo entre 0 e π no outro sentido.

Partindo da última igualdade do item a

d r → d t ⋅ d r → d t = - r → ⋅ d 2 r → d t 2

d r → d t 2 = - r → ⋅ d 2 r → d t 2

r → ⋅ d 2 r → d t 2 = - d r → d t 2

Usando o cálculo do produto escalar a ⋅ b = a b cos ⁡ θ temos

r → d 2 r → d t 2 cos ⁡ θ = - d r → d t 2

cos ⁡ θ = - d r → d t 2 r → d 2 r → d t 2

Como estamos trabalhando com normas, temos que

d r → d t 2 r → d 2 r → d t 2 ≥ 0

Então, seguindo a igualdade cos ⁡ θ ≤ 0 . Para isso, temos que (no intervalo entre 0 e π ) o ângulo θ é negativo somente no intervalo

π 2 ≤ θ ≤ π

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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