Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 31
Suponha que e satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que seja uma função escalar com derivadas parciais contínuas. Demonstre que
Estas integrais de superfície e triplas de funções vetoriais são vetores definidos integrando cada função componente. [Sugestão: comece aplicando o Teorema do Divergente a , onde é um vetor constante arbitrário.]
Passo 1
E aí, pessoal! De boa?
A questão pede a demonstração de igualdade:
Como o enunciado diz, todas as condições das variáveis envolvidas satisfazem o Teorema do Divergente, então vamos usá-lo para chegar na nossa resposta.
Relembrando:
O próprio enunciado nos dá uma sugestão de abordagem: começar aplicando o Teorema do divergente com , onde é um vetor constante arbitrário, ou seja:
Passo 2
Temos pelo Teorema do Divergente:
Vamos considerar que , com sendo um vetor constante.
Agora usando o Teorema do Divergente, vamos substituir isso:
Vamos agora usar a seguinte propriedade:
E usando o Teorema do Divergente, substituímos a equação acima e ficamos com:
Como é um vetor constante, nós vamos ter:
Assim:
Substituindo por :
Passo 3
Retomando o Teorema, temos até então:
Reorganizando a equação, ficamos com:
Colocando nossa constante em evidência:
Como é uma constante arbitrária, nós escolhemos um valor de tal forma que o produto não seja zero. Se temos um produto de dois termos igual a zero, um deles obrigatoriamente deve ser zero. Como não é vai ser nosso termo dentro dos parênteses, então:
Rearranjando a equação:
Pronto! Igualdade demonstrada!
Resposta
Demonstração.