Sejam x = x 1 t , y = y 1 t e x = x 2 t , y = y 2 t duas soluções do sistema linear não-homogêneo x ' = p 11 t x + p 12 t y + g 1 ( t ) ; y ' = p 21 t x + p 22 t y + g 2 ( t ) Mostre que x = x 1 t - x 2 t , y = y 1 t - y 2 t é uma solução do sistema homogêneo associado.

Enunciado

Vamos começar reescrevendo o sistema. Dessa forma:

As soluções do sistema são: , e , . O exercício nos pede para provar que , é uma solução do sistema homogêneo associado.

Vamos começar aplicando a solução e no sistema:

Vamos chamar estas equações de (I) e (II). Tudo bem? Legal.

Substituindo agora a solução e :

Estas chamaremos de (III) e (IV).

O exercício nos pede para verificar se , é uma solução do sistema homogêneo.

Se o sistema fosse homogêneo teríamos:

Aplicando , :

Pelas equações (I), (II), (III) e (IV) podemos ver que:

Então ficamos com:

O que comprova que , é uma solução do sistema homogêneo associado.

Ei, a resposta está no passo a passo :)