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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 16

Sejam x = x 1 t , y = y 1 t e x = x 2 t , y = y 2 t duas soluções do sistema linear não-homogêneo

x ' = p 11 t x + p 12 t y + g 1 ( t ) ;

y ' = p 21 t x + p 22 t y + g 2 ( t )

Mostre que x = x 1 t - x 2 t , y = y 1 t - y 2 t é uma solução do sistema homogêneo associado.

Passo 1

Vamos começar reescrevendo o sistema. Dessa forma:

x ' - p 11 t x - p 12 t y = g 1 ( t )

y ' - p 21 t x - p 22 t y = g 2 ( t )

As soluções do sistema são: x = x 1 t , y = y 1 t e x = x 2 t , y = y 2 t . O exercício nos pede para provar que x = x 1 t - x 2 t , y = y 1 t - y 2 t é uma solução do sistema homogêneo associado.

Passo 2

Vamos começar aplicando a solução x = x 1 e y = y 1 no sistema:

x 1 ' ( t ) - p 11 t x 1 - p 12 t y 1 = g 1 ( t )

y 1 ' - p 21 t x 1 - p 22 t y 1 = g 2 ( t )

Vamos chamar estas equações de (I) e (II). Tudo bem? Legal.

Substituindo agora a solução x = x 2 t e y = y 2 t :

x 2 ' ( t ) - p 11 t x 2 - p 12 t y 2 = g 1 ( t )

y 2 ' - p 21 t x 2 - p 22 t y 2 = g 2 ( t )

Estas chamaremos de (III) e (IV).

O exercício nos pede para verificar se x = x 1 t - x 2 t , y = y 1 t - y 2 t é uma solução do sistema homogêneo.

Se o sistema fosse homogêneo teríamos:

x ' - p 11 t x - p 12 t y = 0

y ' - p 21 t x - p 22 t y = 0

Passo 3

Aplicando x = x 1 t - x 2 t , y = y 1 t - y 2 t :

x 1 t - x 2 t ' - p 11 t x 1 t - x 2 t - p 12 t y 1 t - y 2 t = 0

y 1 t - y 2 t ' - p 21 t x 1 t - x 2 t - p 22 t y 1 t - y 2 t = 0

x 1 ' - p 11 x 1 - p 12 y 1 - x 2 ' - p 11 x 2 - p 12 y 2 = 0

y 1 ' - p 21 x 1 - p 22 y 1 - y 2 ' - p 21 x 2 - p 22 y 2 = 0

Pelas equações (I), (II), (III) e (IV) podemos ver que:

x 1 ' - p 11 x 1 - p 12 y 1 = g 1 ( t )

x 2 ' - p 11 x 2 - p 12 y 2 = g 1 ( t )

y 1 ' - p 21 x 1 - p 22 y 1 = g 2 ( t )

y 2 ' - p 21 x 2 - p 22 y 2 = g 2 ( t )

Então ficamos com:

g 1 t - g 1 t = 0

g 2 t - g 2 t = 0

O que comprova que x = x 1 t - x 2 t , y = y 1 t - y 2 t é uma solução do sistema homogêneo associado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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