Sejam f ( x ) = 2 - x 2 e g ( x ) = x + 2 .

  1. Escreva as fórmulas para f ∘ g e g ∘ f
  2. Determine o domínio de cada uma
  3. Determine a imagem de cada uma

Passo 1

E aí! Pra essa questão precisamos lembrar de funções inversas:

f ∘ g ( x ) = f ( g ( x ) ) e g ∘ f ( x ) = g ( f ( x ) ) . Bora lá?

Passo 2

  1. f ∘ g ( x ) = f ( g ( x ) ) = 2 - ( x + 2 ) 2 = 2 - ( x + 2 ) = - x → f ∘ g ( x ) = - x

Só que uma condição de existência: o que tá dentro da raiz nunca pode ser negativo. Então: x + 2 ≥ 0 → x ≥ - 2

g ∘ f ( x ) = g ( f ( x ) ) = 2 - x 2 + 2 = 4 - x 2 → g ∘ f ( x ) = 4 - x 2

A restrição daqui é pra - 2 ≤ x ≤ 2

Passo 3

(b) Domínio de f ∘ g ( x ) :

Lembra que ali em cima x ≥ - 2 ? Então, o domínio é D ( f ∘ g )   = [ - 2 , + ∞ )

Domínio de g ∘ f ( x ) :

Lembra que ali em cima - 2 ≤ x ≤ 2 ? Então, o domínio é D ( g ∘ f ) = [ - 2,2 ]

Passo 4

(c) Olha a cara da f ∘ g ( x ) :

O x ≥ - 2 (no -2, a imagem é 2, hein), então ele vai a partir do ponto vermelho até o infinito negativo (lá pra baixo). Assim, I m ( f ∘ g ) = ( - ∞ , 2 ]

E agora olha a cara da g ∘ f ( x ) :

A imagem vai de 0 até 2.

I m ( g ∘ f ) = [ 0,2 ]

Resposta

  1. f ∘ g ( x ) = - x , g ∘ f ( x ) = 4 - x 2
  2. D ( f ∘ g )   = [ - 2 , + ∞ ) ,   D ( g ∘ f ) = [ - 2,2 ]
  3. I m ( f ∘ g ) = ( - ∞ , 2 ], I m ( g ∘ f ) = [ 0,2 ]
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Se f (x) = x + 5 e g (x) = x^2 - 3 , resolva:f (g (0)) g (f (0)) f (g (x)) g (f (x)) f (f (- 5)) g (g (2)) f (f (x)) g (g (x))