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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 14

14- Sejam f t   e   g t funções deriváveis em R e tais que, para todo t,

f ' t = 2 . g ( t )   g ' t = - f ( t )  

Suponha, ainda, que f 0 = 0 e g 0 = 1 . Prove que, para todo t, o ponto f t , g t pertence à elipse x 2 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

E aí galera? Prontos pra mais uma questão? Vamos lá!

Primeiro, vamos ajeitar a equação da elipse para que possamos trabalhar melhor:

x 2 + 2 y 2 = 2

Seja h t = f t 2 + 2 g t 2

Vamos derivar implicitamente:

h ' t = 2 f t f ' t + 4 g t g ' t

Passo 2

Usamos agora os resultados fornecidos pela questão:

h ' t = 2 f t 2 g t + 4 g t - f t

h ' t = 4 f t g t - 4 g t f t = 0

Como h ' t = 0 , existe uma constante k, tal que h t = k .

Passo 3

Agora que descobrimos que a função h é constante, basta vermos que:

h 0 = f 0 2 + 2 g 0 2 = 0 + 2.1 = 2

Então todo ponto f t , g t pertence à elipse x 2 2 + y 2 = 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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