Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.3 - Ex. 61
Sejam e funções lineares com equações e . A função também é linear? Em caso afirmativo, qual a inclinação de seu gráfico?
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu duas funções lineares, e , e pediu pra gente verificar se a composição dessas funções na forma também é linear. E determinar a inclinação de seu gráfico.
Beleza, pra isso a gente tem que lembrar que a composição também pode ser escrita na forma:
Então, é a nossa função mais interna e é a nossa função mais externa. Além disso, precisamos lembrar que uma função linear vai ser escrita na forma:
Onde é o chamado coeficiente angular da reta, que é uma constante assim como .
Então, o que nós vamos fazer é substituir dentro de para encontrar a nossa composição e verificar se o resultado tem a forma . Se tiver, podemos dizer que também é linear e encontraremos a inclinação da reta.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar substituindo as funções dadas no enunciado em :
Como , temos:
Mas é o valor da função quando . Então, substituindo esse em , teremos:
Aplicando a distributiva nos produtos:
Agora repare que está multiplicando apenas o produto de constantes, que tem como resultado uma constante. E que do lado direito do sinal de mais, também temos apenas constantes. Olha só:
Dessa forma, podemos escrever:
Perceba que isso é justamente uma função linear com inclinação , e resolvemos nosso problema.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉