Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.3 - Ex. 39
Demonstre que
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar a seguinte igualdade:
A gente não pode simplesmente fazer pois iria gerar uma indeterminação (divisão por zero).
Também fica complicado a gente manipular a expressão. E agora???
Caaalma!!
Em situações em que não conseguimos apenas manipular a função do limite, convem procurar testar se o teorema do confronto não pode ser aplicado.
Ele serve muito bem em situações em que temos funções trigonometricas que costumam ser limitadas, mas não apenas com elas.
O teorema do confronto diz que:
Sejam , funções reais definidas no dominio e seja a um ponto dentro desse dominio, se:
E
Então
Agora bora aplicar!! 😉
Passo 2
Muito bem galera, sabemos que a função cosseno está limitada pelo intervalo [-1,1]:
Até aqui tudo muito tranquilo, mas não é isso que queremos, nós precisamos saber os intervalos de Então o que fazemos?
Multiplicamos todos os três termos da inequação por
Agora ficou bom! Vamos analisar o limite inferior:
Analisar o limite superior:
Ou seja, o limite foi o mesmo para ambos os extremos, então o limite da função é 0 pelo teorema do confronto!! 😉