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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 91

Sejam a e b números positivos com a > b . Seja a 1 sua média aritmética e b 1 sua média geométrica:

a 1 = a + b 2                     b 1 = a b

Repita esse procedimento de modo que, em geral,

a n + 1 = a n + b n 2                     b n + 1 = a n b n

(a) Use a indução matemática para mostrar que

a n > a n + 1 > b n + 1 > b n

(b) Deduza que a n e b n são ambas convergentes.

(c) Mostre que l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   b n . Gauss chamou o valor comum desses limites de média aritmética-geométrica dos números a e b .

Passo 1

Fala Aí, galera! Tudo certinho? Como essa questão é um pouco grande, vamos tentar resumir o que vamos precisar fazer:

(a) Usar a indução matemática para mostrar que

a n > a n + 1 > b n + 1 > b n

(b) Deduzir que a n e b n são ambas convergentes.

(c) Mostrar que l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   b n .

Bora lá então?!!

Passo 2

(a) Antes de mais nada, vamos relembrar o que é indução?

A indução é um método de prova matemática que usamos para demonstrar que uma proposição é verdadeira para todos os elementos de um conjunto infinito (ou uma sequência infinita) seguindo um padrão. Sacou? Normalmente envolve dois passos:

  1. Provamos que a proposição é verdadeira para o primeiro elemento do conjunto (normalmente n = 0 ou n = 1 )
  2. Assumimos que a proposição é verdadeira para um valor k   arbitrário e, em seguida, provamos que isso implica que a proposição também é verdadeira para k + 1 .

Show?! Então vamos lá!

  1. Pra fazer a indução, primeiro verificamos se a afirmação vale pra n = 0 :

    2. a > a 1 > b 1 > b

    Primeiro, vamos calcular a - a 1 :

    a - a 1 = a - a + b 2 = a - b 2 > 0

    pois a > b . Assim,

    a - a 1 > 0

    a > a 1

    Passo 3

    Agora vamos ao cálculo de a 1 - b 1 :

    a 1 - b 1 = a + b 2 - a b

    Podemos notar que podemos fatorar 1 2 da expressão a - a b + b , assim:

    1 2 a - a b + b

    Agora, podemos reconhecer que a - a b + b é um binômio e aplicar a propriedade do quadrado de um binômio. Não lembra o que essa propriedade diz? Calmaaa que eu te digo:

    A propriedade do quadrado de um binômio diz que

    x - y 2 = x 2 - 2 x y + y 2

    Assim, aplicando no nosso caso:

    a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 = a - 2 a b + b

    Ou seja,

    = 1 2 a - b 2 ≥ 0

    Mas a > b , então a ≠ b e a expressão é diferente de 0 :

    a 1 - b 1 > 0

    a 1 > b 1

    E agora, b 1 - b :

    b 1 - b = a b - b = a b - b 2 = b a - b > 0

    pois a > b ⇒ a > b . Então,

    b 1 - b > 0

    b 1 > b

    E assim finalizamos a primeira parte da indução, pois verificamos que

    a > a 1 > b 1 > b

    Passo 4

  2. Agora vamos pra segunda parte da indução! Supomos que a afirmação vale pra n = k :

a k > a k + 1 > b k + 1 > b k

E tentamos provar que vale para n = k + 1 , beleza? Ou seja, tentaremos provar isso:

a k + 1 > a k + 2 > b k + 2 > b k + 1

Que tal começar calculando a k + 1 - a k + 2 :

a k + 1 - a k + 2 = a k + 1 - a k + 1 + b k + 1 2 = a k + 1 - b k + 1 2 > 0

pois, pela nossa hipótese, a k + 1 > b k + 1 . Então:

a k + 1 - a k + 2 > 0

a k + 1 > a k + 2

Talvez pareça complicado de entender, porque essa notação do exercício, com esse monte de k , não ajuda né? Mas perceba que todos os cálculos com k vão ser bastante análogos aos dos passos anteriores, beleza?

Passo 3

Continuando, vamos calcular a k + 2 - b k + 2 :

a k + 2 - b k + 2 = a k + 1 + b k + 1 2 - a k + 1 b k + 1

Podemos notar que podemos fatorar 1 2 da expressão, assim:

1 2 a k + 1 - 2 a k + 1 b k + 1 + b k + 1

Aplicando a propriedade do quadrado de um binômio:

1 2 a k + 1 - b k + 1 2 ≥ 0

Mas segundo a nossa hipótese, a k + 1 > b k + 1 , então a expressão é diferente de 0 , ou seja,

a k + 2 - b k + 2 > 0

a k + 2 > b k + 2

Pra provar a última desigualdade, vamos calcular:

b k + 2 - b k + 1 = a k + 1 b k + 1 - b k + 1 = b k + 1 a k + 1 - b k + 1 > 0

pois a k + 1 > b k + 1 pela nossa hipótese, o que implica a k + 1 > b k + 1   . Então:

b k + 2 - b k + 1 > 0

b k + 2 > b k + 1

E isso completa nossa indução, pois concluímos que:

a k + 1 > a k + 2 > b k + 2 > b k + 1

Ou seja, conseguimos usar a indução matemática para mostrar que

a n > a n + 1 > b n + 1 > b n

Show de bola?! Agora vamos para a letra B!

Passo 4

(b) No item (a), a gente provou que a n > a n + 1 , ou seja, a n é uma sequência monótona decrescente. Provamos também que b n + 1 > b n , ou seja, b n é uma sequência monótona crescente. Pra ter certeza que elas são convergentes, só nos falta provar que elas são limitadas, certo?

Bom, no primeiro passo da indução, provamos o seguinte:

a > a 1 > b 1 > b

O que nos possibilita escrever:

a > a 1 ≥ a n > b n ≥ b 1 > b

Sabe o que isso significa? Tanto a n como b n são limitadas, olha:

a > a n > b

a > b n > b

Então, pelo Teorema da Sequência Monótona que afirma que toda sequência monótona e limitada é convergente ambas são convergentes. Beleza?!

Passo 5

(c) Show! Agora a gente só tem que calcular os limites de cada sequência e mostrar que eles são iguais!

Pra isso, vamos tomar o limite em cada uma das equações de a n e b n . No final você vai ver que não precisava ter feito todo o processo com as duas equações, bastava uma. Então, se quiser, pode só escolher um lado da resolução pra acompanhar, beleza?

a n + 1 = a n + b n 2                                       b n + 1 = a n b n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = l i m n → ∞ a n + b n 2                                         l i m n → ∞ b n + 1 = l i m n → ∞ a n b n

Aqui vamos “distribuir” os limites:

l i m n → ∞ a n + 1 = 1 2 l i m n → ∞ a n + l i m n → ∞ b n                                         l i m n → ∞ b n + 1 = l i m n → ∞ a n l i m n → ∞ b n

Agora lembre-se que quando as sequências são convergentes, podemos escrever l i m n → ∞   a n + 1 = l i m n → ∞   a n e l i m n → ∞ b n + 1 = l i m n → ∞ b n :

l i m n → ∞ a n = 1 2 l i m n → ∞ a n + l i m n → ∞ b n                                         l i m n → ∞ b n = l i m n → ∞ a n l i m n → ∞ b n

Ou seja, chegamos a duas equações envolvendo o limite das sequências, e pra você enxergar isso melhor, vamos escrever l i m n → ∞ a n = A e l i m n → ∞ b n = B :

A = 1 2 A + B                                       B = A B

Bora resolver cada uma?

A = 1 2 A + 1 2 B                                         B B = A B

1 2 A = 1 2 B                                         B = A

A = B           ��                             B = A

Ou seja, seguindo qualquer dos dois caminhos, mostramos que

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   b n

Resposta

(a) Conseguimos usar a indução matemática para mostrar que

a n > a n + 1 > b n + 1 > b n

(b) Pelo Teorema da Sequência Monótona conseguimos mostrar que ambas são convergentes.

(c) Conseguimos mostrar que l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   b n

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