(a) Antes de mais nada, vamos relembrar o que é indução?

A indução é um método de prova matemática que usamos para demonstrar que uma proposição é verdadeira para todos os elementos de um conjunto infinito (ou uma sequência infinita) seguindo um padrão. Sacou? Normalmente envolve dois passos:

1. Provamos que a proposição é verdadeira para o primeiro elemento do conjunto (normalmente ou )
2. Assumimos que a proposição é verdadeira para um valor arbitrário e, em seguida, provamos que isso implica que a proposição também é verdadeira para .

Show?! Então vamos lá!

1. Pra fazer a indução, primeiro verificamos se a afirmação vale pra :

Primeiro, vamos calcular :

pois . Assim,

Passo 3

Agora vamos ao cálculo de :

Podemos notar que podemos fatorar da expressão , assim:

Agora, podemos reconhecer que é um binômio e aplicar a propriedade do quadrado de um binômio. Não lembra o que essa propriedade diz? Calmaaa que eu te digo:

A propriedade do quadrado de um binômio diz que

Assim, aplicando no nosso caso:

Ou seja,

Mas , então e a expressão é diferente de :

E agora, :

pois . Então,

E assim finalizamos a primeira parte da indução, pois verificamos que

Passo 4

2. Agora vamos pra segunda parte da indução! Supomos que a afirmação vale pra :

E tentamos provar que vale para , beleza? Ou seja, tentaremos provar isso:

Que tal começar calculando :

pois, pela nossa hipótese, . Então:

Talvez pareça complicado de entender, porque essa notação do exercício, com esse monte de , não ajuda né? Mas perceba que todos os cálculos com vão ser bastante análogos aos dos passos anteriores, beleza?

Continuando, vamos calcular :

Podemos notar que podemos fatorar da expressão, assim:

Aplicando a propriedade do quadrado de um binômio:

Mas segundo a nossa hipótese, , então a expressão é diferente de , ou seja,

Pra provar a última desigualdade, vamos calcular:

pois pela nossa hipótese, o que implica . Então:

E isso completa nossa indução, pois concluímos que:

Ou seja, conseguimos usar a indução matemática para mostrar que

Show de bola?! Agora vamos para a letra B!

(b) No item (a), a gente provou que , ou seja, é uma sequência monótona decrescente. Provamos também que , ou seja, é uma sequência monótona crescente. Pra ter certeza que elas são convergentes, só nos falta provar que elas são limitadas, certo?

Bom, no primeiro passo da indução, provamos o seguinte:

O que nos possibilita escrever:

Sabe o que isso significa? Tanto como são limitadas, olha:

Então, pelo Teorema da Sequência Monótona que afirma que toda sequência monótona e limitada é convergente ambas são convergentes. Beleza?!

(c) Show! Agora a gente só tem que calcular os limites de cada sequência e mostrar que eles são iguais!

Pra isso, vamos tomar o limite em cada uma das equações de e . No final você vai ver que não precisava ter feito todo o processo com as duas equações, bastava uma. Então, se quiser, pode só escolher um lado da resolução pra acompanhar, beleza?

Aqui vamos “distribuir” os limites:

Agora lembre-se que quando as sequências são convergentes, podemos escrever e :

Ou seja, chegamos a duas equações envolvendo o limite das sequências, e pra você enxergar isso melhor, vamos escrever e :

Bora resolver cada uma?

Ou seja, seguindo qualquer dos dois caminhos, mostramos que