Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 36
Use as seguintes etapas para mostrar que
Sejam e as somas parciais das séries harmônica e harmônica alternada.
- Mostre que .
- Do Exercício , da Seção , temos
e, portanto,
Use esses fatos junto com a parte (a) para mostrar que quando .
Passo 1
Eae galera tudo certo? Essa questão é um pouco mais conceitual, exige pensarmos de uma forma mais completa.
Primeiro vamos entender quem é , e .
Bom, o enunciado diz que é a soma da série harmônica alternada. Que é:
Mas e ? É a soma da série harmônica. E quem é a série harmônica? Veja abaixo:
Assim fica claro que
Para resolver essa questão precisaremos definir todos os termos envolvidos e testar a equação
Para qualquer valor de . Para isso devemos substituir os valores em cada termo e utilzianddo as propriedades de operações com somatório testar se a igualdade é valida.
Depois disso utilizaremos os valores indicados na seção (b), que se referem ao valor que cada um dos termos da igualdade convergem, para completar a equação para , encontrando o valor de .
Passo 2
(a) E aí, galera? Pra mostrar que a soma daquela série é , primeiro a gente precisa mostrar isso:
ou seja,
Passo 3
Vamos começar para .
Para a afirmativa é verdadeira. Mas e pro termo geral?
Ora se:
É verdade. Então:
Portanto:
Podemos aplicar alguns teoremas de séries. Por exemplo:
Show! Vamos começar desenvolvendo o lado esquerdo:
Perceba que para qualquer valor de a série será positiva. Por isso foi possível “eliminar” o elemento .
Aplicando o teorema acima temos:
Agora vamos desenvolver o lado direito, e ver se chegamos ao mesmo resultado:
Aplicando o teorema:
Beleza! Os dois lados da equação são mesmo iguais!
Passo 4
(b) Vamos lá pessoa, precisamos encontrar qual o valor de quando .
Olhando para as equações dadas, temos que, no infinito:
Mas, do item (a), temos:
Então, quando , teremos:
Assim, chegamos à conclusão de que quando .
Passo 5
Pra concluir a prova pedida no enunciado, vamos fazer uma mudança de variáveis na afirmação que acabamos de provar, beleza?
Voltando à variável , temos:
Ou seja, acabamos de provar isso:
Resposta
Acabamos de provar isso: