Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 78
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
Passo 1
Beleza, galera? Precisamos determinar duas coisas nessa questão:
- Determinar se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona.
- Verificar se a sequência é limitada.
Antes de partirmos para as contas vamos relembrar o que significa uma sequência ser crescente, decrescente ou monótona:
Comparando e , se para todo , então a sequência é crescente. Se para todo , então a sequência é decrescente. Se não for o caso de nenhum desses, então a sequência é não monótona. Beleza?
Então vamos para as continhas!
Passo 2
Vamos tentar comparar e pra descobrir se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona.
A gente supõe que , ou seja, que a sequência é crescente, e vemos se é verdade:
É a mesma coisa que,
subtraindo de ambos os lados da desigualdade para simplificar, ficamos com:
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por e para eliminar os denominadores e distribuindo dentro dos parêntesis, temos:
Fazendo a distributiva:
Somando os termos semelhantes, ficamos com
Bora descobrir pra quais valores de essa inequação é verdadeira?
Raízes:
Como a concavidade da parábola é pra cima, a inequação só é falsa entre aproximadamente os valores de e .
Ou seja, a inequação é sempre verdadeira para , que é o que realmente importa pra nossa sequência. Então o que tínhamos suposto é verdadeiro: a sequência é crescente!
Passo 3
Será que a sequência é limitada? Bom, o que limita a sequência inferiormente é o termo , pois a sequência é crescente, então é impossível ter algum número menor do que . Pra sabermos se ela também é limitada superiormente, temos que calcular o limite:
Para nos ajudar a avaliar melhor esse limite quando tende ao infinito, podemos colocar o em evidência:
Assim, analisando cada parcela, temos que
Desse modo, a sequência não é limitada superiormente, e portanto não é limitada, ok?
Resposta
Crescente, não limitada