Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 80
Uma sequência é dada por , .
(a) Por indução, ou de outra maneira, mostre que é crescente e limitada superiormente por . Aplique o Teorema da Sequência Monótona para mostrar que existe.
(b) Calcule
Passo 1
Fala galerinha! Aqui temos a seguinte sequência:
E precisamos provar que ela é crecente e limitada superiormente.
Também precimos mostrar que o limite do termo geral exite e calculá-lo:
Mas primeiro vamos lembrar esse negócio de Teorema da Sequência Monótona. Esse teorema diz que toda sequência monótona e limitada é convergente!
Mais uma coisa a se lembrar, quando uma sequência é convergente, seu limite existe:
Hmmm... interessante... vamos começar!
Passo 2
Beleza, galera? Primeiro vamos provar que a sequência é crescente, usando indução. Provar uma afirmação por indução é provar que ela vale pra qualquer número inteiro.
Nossa sequência é:
Vamos olhar pro interior das raízes. A gente começa com um valor positivo e depois vai adicionando 2 ao valor anterior. Isso significa que que esse valor está crescendo.
E se temos dois valores em que um é maior que outro, a raiz do maior é maior que a raiz do menor. Matematicamente, se:
Então,
E se isso vale pra qualquer , então acabamos de provar por indução que a sequência é crescente!
Passo 3
Show! Agora também usaremos indução pra provar que a sequência é limitada superiormente por . A afirmação que queremos provar é que , para todo , certo?
Como , a afirmação já vale pra , né?
Será que vale pra ?
Vamos contra o que queremos provar e assim a gente vai achar uma incorência. Vamos dizer algo que a gente já sabe que não pode, que um termo é igual a 3:
Então:
O termo seguinte é menor! Mas a gente já tinha provado que a sequência é sempre crescente, então isso não pode acontecer! Está provado.
Passo 4
Já provamos que a sequência é crescente e que é limitada superiormente por . Como ela está sempre crescendo, o primeiro termo é quem a limita inferiormente. Sendo assim, podemos dizer que ela é limitada.
Como vimos no passo 1, o Teorema da Sequência Monótona nos diz que toda sequência monótona (crescente ou decrescente) e limitada é convergente, ou seja, tem um limite. Como já dito, nossa sequência satisfaz as condições do Teorema, pois é monótona (crescente) e limitada. Então, isso mostra que existe, beleza?
Agora vamos pro item (b).
Passo 5
(b) Agora vamos ao cálculo desse limite da sequência. Pra isso, podemos tomar o limite no infinito dos dois lados da equação que mostra a relação de recorrência entre os termos da sequência:
Lembrando aqui de uma coisa MUITO IMPORTANTE! Nós podemos usar o seguinte fato para sequências convergentes:
Usando a propriedade de continuidade:
Pra ficar mais intuitivo de resolver essa equação, vamos chamar o limite de , beleza?
Substituindo:
Como o primeiro termo da sequência é positivo e a sequência é crescente, o limite jamais poderia ser negativo, então eliminamos essa raiz da equação. Ficamos com: