2 ) Sejam γ1 a poligonal de vértices A, B, C, D orientada no sentido antihorário e γ2 a poligonal de vértices H, G, F, E orientada no sentido horário.

Suponha P e Q de classe C1 num aberto contendo K, onde K é a regiãocompreendida entre as poligonais. Prove que

∮ γ 1 P d x + Q d y   +   ∮ γ 2 P d x + Q d y   = ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Passo 1

Para resolver essa questão vamos precisar usar um argumento geométrico, vamos pegar nossa região e dividir em 2

Passo 2

Se aplicarmos o teorema de Green nas duas regiões veremos que

∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

=     ∫ C 1 F d r + ∫ C 2 F d r + ∫ C 3 F d r + ∫ C 4 F d r + ∫ C 5 F d r + ∫ C 6 F d r + ∫ C 7 F d r + ∫ C 8 F d r + ∫ C 9 F d r + ∫ C 10 F d r + ∫ C 11 F d r + ∫ C 12 F d r

Passo 3

Se formos observar C7, C3 estão na mesma reta que C9 contudo estão em direções contrarias, Logo eles vão se cancelar parcialmente. E se formos Somar as Curvas 1 ,2 ,10,11,12,8 formam um ciclo fechado com orientação anti-horaria que o enunciado Chama de γ 1 . E o mesmo raciocínio serve para o Conjunto de Curvas 3,4,5,6,7,9 formam uma curva horaria que o enunciado chama de γ 2 .   Logo podemos ver que

∮ γ 1 P d x + Q d y   +   ∮ γ 2 P d x + Q d y   = ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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