Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 13
Sejam e são dadas implicitamente pelo sistema
a) Expresse e em termos de e .
b) Determine um par de funções e definida implicitamente pelo sistema.
Passo 1
A questão fornece duas funções e implicitamente por um sistema. No item (a) devemos expressar as derivadas parciais de e com relação a .
Derivando as duas equações com relação a :
Agora precisamos resolver esse sistema. Na segunda equação tiramos
Substituindo na primeira equação:
Logo,
Passo 2
Agora vamos partir para o item (b). A questão pede para acharmos as funções e . Para isso temos que isolar e como função de e .
Da segunda equação, tiramos
Substituindo isso na primeira equação:
Assim,
Essa é uma equação biquadrada. Para resolvê-la, vamos fazer . Assim,
Passo 3
Resolvendo essa equação, obtemos
Escolhendo o sinal positivo:
Assim, como , temos que . Escolhendo novamente o sinal positivo:
Bom, já achamos , falta achar . Lembre-se que , de modo que
É importante mencionar que essa resposta não única!
Resposta
a) .
b)