Sejam x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema u = x 2 + y 2 v = x y a) Expresse ∂ x ∂ u e ∂ y ∂ u em termos de x e y .b) Determine um par de funções x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) definida implicitamente pelo sistema.

a) ∂ x ∂ u = x 2( x 2 - y 2 ) e ∂ y ∂ u - y 2( x 2 - y 2 ) .b) x = u + u 2 - 4 v 2 2 e y = v 2 u + u 2 - 4 v 2

Enunciado

A questão fornece duas funções e implicitamente por um sistema. No item (a) devemos expressar as derivadas parciais de e com relação a .

Derivando as duas equações com relação a :

Agora precisamos resolver esse sistema. Na segunda equação tiramos

Substituindo na primeira equação:

Logo,

Agora vamos partir para o item (b). A questão pede para acharmos as funções e . Para isso temos que isolar e como função de e .

Da segunda equação, tiramos

Substituindo isso na primeira equação:

Assim,

Essa é uma equação biquadrada. Para resolvê-la, vamos fazer . Assim,

Resolvendo essa equação, obtemos

Escolhendo o sinal positivo:

Assim, como , temos que . Escolhendo novamente o sinal positivo:

Bom, já achamos , falta achar . Lembre-se que , de modo que

É importante mencionar que essa resposta não única!

a) .