Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 12
Seja , onde e são dadas implicitamente pelo sistema
Suponha .
a) Mostre que .
b) Calcule .
c) Mostre que é constante sobre as hipérboles .
Passo 1
A questão fornece duas funções e implicitamente por um sistema e uma outra função com a propriedade
No item (a) é pedido para mostrar a relação
Para isso, não precisamos nos preocupar com as funções e .
Vamos olhar para a segunda equação do sistema:
Derivando essa equação com relação a e lembrando que e são independentes:
Assim, isolando a derivada de
Passo 2
Agora vamos partir para o item (b). Queremos calcular . Como , vamos ter pela regra da cadeia:
No enunciado foi fornecido
Substituindo isso na equação anterior:
Por outro lado, no item (a) nós mostramos que
Assim,
Passo 3
Para terminar a questão, temos que mostrar que é constante sobre as hipérboles .
Note que temos que
Logo, que à priori era função de e , na verdade é só função de :
Mas sabemos que . Assim,
Vemos então que depende apenas do produto , de modo que o valor da função é constante sobre as curvas .
Resposta
a) Demonstração.
b)
c) Demonstração.