Seja g u , v = f ( x , y ) , onde x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema u = x 2 + y 2 v = x y Suponha x ∂ f ∂ x - y ∂ f ∂ y = 0 .a) Mostre que ∂ y ∂ u = - y x ∂ x ∂ u .b) Calcule ∂ g ∂ u .c) Mostre que f é constante sobre as hipérboles x y = c .

a) Demonstração.b) 0 c) Demonstração.

Enunciado

A questão fornece duas funções e implicitamente por um sistema e uma outra função com a propriedade

No item (a) é pedido para mostrar a relação

Para isso, não precisamos nos preocupar com as funções e .

Vamos olhar para a segunda equação do sistema:

Derivando essa equação com relação a e lembrando que e são independentes:

Assim, isolando a derivada de

Agora vamos partir para o item (b). Queremos calcular . Como , vamos ter pela regra da cadeia:

No enunciado foi fornecido

Substituindo isso na equação anterior:

Por outro lado, no item (a) nós mostramos que

Assim,

Para terminar a questão, temos que mostrar que é constante sobre as hipérboles .

Note que temos que

Logo, que à priori era função de e , na verdade é só função de :

Mas sabemos que . Assim,

Vemos então que depende apenas do produto , de modo que o valor da função é constante sobre as curvas .

a) Demonstração.

c) Demonstração.