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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 25

Considerando que as equações nos Exercícios 25-28 definem y como uma função derivável de x , utilize o Teorema 8 para encontrar o valor de d y / d x no ponto dado.

x 3 - 2 y 2 + x y = 0 ,             1 ,   1

Passo 1

Oi pessoal, primeiro vamos relembrar o Teorema 8, que é a fórmula para diferenciação implícita

Suponha que F x ,   y seja diferenciável e que a equação F x ,   y = 0 defina y como uma função diferenciável de x . Então, em qualquer ponto onde F y ≠ 0 :

d y d x = - F x F y

Primeiramente vamos calcular a derivada em x :

F x = 3 x 2 + y

E em y :

F y = - 4 y + x = x - 4 y

Então temos:

d y d x = - 3 x 2 + y x - 4 y

Passo 2

Substituindo o ponto 1 ,   1 :

d y d x = - 3 ∙ 1 2 + 1 1 - 4 ∙ 1 = - 4 - 3

d y d x = 4 3

Tchau. Te espero em outros exercícios, até já!

Resposta

d y / d x = 4 / 3 .

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