Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 5a

Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que

‖vec u - vec v‖ >= ‖vec u‖ - ‖vec v‖

Passo 1

Calculando o módulo pelo produto vetorial temos

‖vec u - vec v‖^2 = (vec u - vec v) * (vec u - vec v)

Aplicando a distributiva

= vec u * vec u - 2 vec u * vec v + vec v * vec v

= ‖vec u‖^2 - 2 vec u * vec v + ‖vec v‖^2

Usando a desigualdade de Schwarz, que diz

vec u * vec v <= ‖vec u‖ ‖vec v‖

Podemos dizer que

2 vec u * vec v <= 2 ‖vec u‖ ‖vec v‖

- 2 vec u * vec v >= - 2 ‖vec u‖ ‖vec v‖

Somando ‖vec u‖^2 e ‖vec v‖^2

‖vec u‖^2 - 2 vec u * vec v + ‖vec v‖^2 >= ‖vec u‖^2 - 2 ‖vec u‖ ‖vec v‖ + ‖vec v‖^2

Do lado esquerdo temos o que começamos e do lado direito, um quadrado perfeito

‖vec u - vec v‖^2 >= (‖vec u‖ - ‖vec v‖)^2

Tirando a raiz quadrada

‖vec u - vec v‖ >= |‖vec u‖ - ‖vec v‖|

Quando temos o módulo de algum número, podemos dizer que

|a| >= a

Já que se a é positivo |a| = a e se a é negativo, qualquer número positivo e maior que a . Portanto podemos afirmar que

|‖vec u‖ - ‖vec v‖| >= ‖vec u‖ - ‖vec v‖

E que

‖vec u - vec v‖ >= ‖vec u‖ - ‖vec v‖

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que duas matrizes n × n A e B são tais que B = α A , para um escalar a α ≠ 0 . Mostre que se λ é autovalor de uma matriz A , então α λ é autovalor de B .
Mostre que se V é autovetor de A , então V é autovetor de A k . Com qual autovalor?
Seja λ um autovalor da matriz não-singular A com autovetor associado X . Mostre que 1 / λ é um autovalor de A - 1 com autovetor associado X .
Se V e W são autovetores associados a um autovalor λ , então W - p r o j VW é também um autovetor associado a λ ? E se V e W forem autovetores associados a autovalores diferentes?
Seja λ um autovalor (fixo) de A . Demonstre que o conjunto formado por todos os autovetores de A associados a λ , juntamente com o vetor nulo, é um subespaço de R n . Este subespaço é chamado de autoe