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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 17

Sejam u → , e v , → vetores não nulos do R 3 . Mostre que u ⋀ v = u   v     s e n θ , com θ o ângulo entre u → , e v . →

Passo 1

Vamos considerar u = ( u 1 ,   u 2 ,   u 3 ) e v = ( v 1 , v 2 ,   v 3 ) para fazer nossa contas, se ligou ?

Isso não me cheira a nada muito fácil, more. Mas vamos tentar usar as armas que temos, beleza?

Sabemos que s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Daí,

s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Sabemos também que

c o s θ = u ⋅ v u v ⟹ cos 2 ⁡ θ = u ⋅ v 2 u 2 v 2

Substituindo, temos que

s e n 2 θ = 1 - u ⋅ v 2 u 2 v 2

Fazendo o mmc,

s e n 2 θ = u 2 v 2 - u ⋅ v 2 u 2 v 2  

Tirando a raiz,

s e n θ = u 2 v 2 - u ⋅ v 2 u   v  

s e n θ = ( u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 ) ( v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 ) - u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 2 u   v  

Daí,

s e n θ = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 - [ u 1 v 1 + u 2 v 2 2 + 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 u 3 v 3 +   u 3 v 3 2 ]   u   v  

Abrindo as contas após o sinal de menos,

s e n θ =

u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 - u 1 v 1   2 +     2 u 1 v 1 u 2 v 2 + u 2 v 2   2 + 2   u 1 v 1 u 3 v 3 + 2   u 2 v 2 u 3 v 3 +   ( u 3 v 3   2 ]   u   v  

Vamos chamar a expressão em colchetes de C

Daí,

u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 - C   u   v   =     u 1 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + u 2 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + u 3 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 - C   u   v  

Abrindo mais essa bagaça (misericórdia mermão... parece que salguei a santa ceia)

u 1 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + u 2 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + u 3 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 - C   u   v   =   u 1   2 v 1 2 + u 1   2 v 2 2 +   u 1   2 v 2 2 + u 2 2 v 2 2   +   u 2 2 +   u 2 2 v 3 2 + u 3 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 - C   u   v  

Se a gente cancelar com os termos de C , a nossa conta fica (Meu pai do Céu, meus dedos estão caindo de tanto escrever, mas estamos acabando ahahah )

u 1   2 v 1 2 + u 1   2 v 2 2 +   u 1   2 v 2 2 + u 2 2 v 2 2   +   u 2 2 +   u 2 2 v 3 2 + u 3 2 v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 - C   u   v   =

  u 2 v 3   2 - 2 u 2 v 3   u 3 v 2   + u 3 v 2 2   + u 3 v 1 2 - 2 u 3 v 1 u 1 v 3 + u 1 v 3 2 + u 1 v 2 2 - 2 u 1 v 2   u 2 v 1 + u 2 v 1 2 u   v  

Passo 2

Se a gente for tentar chegar no que precisamos, vai da uma trabalheira danada. Então vamos abrir as contas de onde desejamos chegar para a gente comparar e vê se bateu igual, fechou?

Bora lá! Temos que

u ⋀ v u   v   = u 2 v 3   - u 3 v 2 2 + u 3 v 1 - u 1 v 3 2 + u 1 v 2 - u 2 v 1 2 u   v  

Abrindo mais um pouco,

u ⋀ v u   v   = u 2 v 3   2 - 2 u 2 v 3   u 3 v 2   + u 3 v 2 2   + u 3 v 1 2 - 2 u 3 v 1 u 1 v 3 + u 1 v 3 2 + u 1 v 2 2 - 2 u 1 v 2   u 2 v 1 + u 2 v 1 2 u   v  

Sendo assim,

u ⋀ v u   v   = ( u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 ) ( v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 ) - u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 2 u   v   =   s e n θ

Ou seja,

s e n θ =   u ⋀ v u   v  

Logo,

u ⋀ v = u   v     s e n θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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