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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 4

Seja vec u = (u_1 , u_2 , u_3 , ... , u_n) um vetor do R^n ( n >= 2 ) . Mostre que ‖vec u‖ >= |u_i| , i = 1,2 , ... , n .

Passo 1

Primeiro vamos entender o que é ‖vec u‖ e |u_i| . Quando calculamos a norma de vec u temos

‖vec u‖ = sqrt(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2)

E se pegarmos |u_i| , i = 1,2 , 3 temos

|u_i| = sqrt(u_i^2)

Quando elevamos um número a a uma potência par, obtemos sempre um número não negativo, então

a^2 >= 0

Se somarmos b em ambos os lados da inequação

a + b >= b

Seja b qualquer real. Logo podemos dizer que

u_i^2 + u_j^2 >= u_i^2

Para os valores dentro de i = {1,2 , 3 , ... , n} , j = {1,2 , 3 , ... , n} , i != j . Podemos ainda substituir alguns valores e dizer que

u_1^2 + u_2^2 >= u_1^2

E ainda mais

(u_1^2 + u_2^2) + u_3^2 >= u_1^2 + u_2^2 >= u_1^2

u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 >= u_1^2 + u_2^2 >= u_1^2

E se continuarmos somando as coordenadas ao quadrado, chegamos em

u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + ... + u_n^2 >= u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + ... + u_(n - 1)^2 >= ... >= u_1^2

u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + ... + u_n^2 >= u_1^2

E podemos fazer para qualquer uma das coordenadas na direita da inequação, então

u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + ... + u_n^2 >= u_i^2

Se tirarmos a raiz quadrada em ambos os lados

sqrt(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + ... + u_n^2) >= sqrt(u_i^2)

‖vec u‖ >= |u_i|

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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