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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 9

Sejam u → , v → , w → vetores do R n tais que w → = α   u → + β   v → com α e β reais. Suponha u → e v → unitários ( u → = 1 e v → = 1 ) e ortogonais. Prove que α = u → ⋅ w → e β = v → ⋅ w → .

Passo 1

O enunciado nos fala que u → e v → são ortogonais, então sabemos que

u → ⋅ v → = 0

Se pegarmos então w → = α   u → + β   v → e fizermos o produto escalar com u → , temos

u → ⋅ w → = u → ⋅ α   u → + β   v →

Utilizando a propriedade distributiva do produto escalar

u → ⋅ w → = α   u → ⋅ u → + β   u → ⋅ v →

Sabemos que u → ⋅ v → = 0 e que u → ⋅   u → = u → 2

u → ⋅ w → = α   u → 2

Como foi dado que u → = 1

u → ⋅ w → = α

Passo 2

Fazendo agora o produto escalar de v → com w →

v → ⋅ w → = v → ⋅ α   u → + β   v →

Fazendo a distributiva

v → ⋅ w → = α   v → ⋅ u → + β   v → ⋅ v →

v → ⋅ w → = β   v → 2

Com v → = 1

v → ⋅ w → = β

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja vec u = (u_1 , u_2 , u_3) um vetor qualquer de R^3 . Mostre que ‖vec u‖ = |u_i| , i = 1,2 , 3 .
Sejam vec u e vec v vetores quaisquer do R^n . Prove que:vec u _|_ vec v ⟺ ‖vec u + vec v‖^2 = ‖vec u‖^2 + ‖vec v‖^2
Sejam vec u = (u_1 , u_2 , ... , u_n) e vec v = (v_1 , v_2 , ... , v_n) vetores quaisquer do R^n . Mostre que‖vec u - vec v‖ = |u_i - v_i| , i = 1,2 , ... , n
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.