Sejam u → , v → , w → vetores do R n tais que w → = α   u → + β   v → com α e β reais. Suponha u → e v → unitários ( u → = 1 e v → = 1 ) e ortogonais. Prove que α = u → ⋅ w → e β = v → ⋅ w → .

Passo 1

O enunciado nos fala que u → e v → são ortogonais, então sabemos que

u → ⋅ v → = 0

Se pegarmos então w → = α   u → + β   v → e fizermos o produto escalar com u → , temos

u → ⋅ w → = u → ⋅ α   u → + β   v →

Utilizando a propriedade distributiva do produto escalar

u → ⋅ w → = α   u → ⋅ u → + β   u → ⋅ v →

Sabemos que u → ⋅ v → = 0 e que u → ⋅   u → = u → 2

u → ⋅ w → = α   u → 2

Como foi dado que u → = 1

u → ⋅ w → = α

Passo 2

Fazendo agora o produto escalar de v → com w →

v → ⋅ w → = v → ⋅ α   u → + β   v →

Fazendo a distributiva

v → ⋅ w → = α   v → ⋅ u → + β   v → ⋅ v →

v → ⋅ w → = β   v → 2

Com v → = 1

v → ⋅ w → = β

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja u → = (u₁, u₂, u₃) um vetor qualquer de R^3 . Mostre que ‖u‖ ≥ |u_i|, i = 1, 2, 3 .
Sejam u → e v → vetores quaisquer do R^n . Prove que:u ⊥ v ⇔ ‖u→ + v→‖² = ‖u→‖² + ‖v→‖²
Sejam u → = (u₁, u₂, …, uₙ) e v = (v1, v2, …, vn) vetores quaisquer do R^n . Mostre que‖ u → - v → ‖ ≥ | u_i - v_i |, i = 1, 2, …, n
Seja u → um vetor qualquer do R^n . Prove que se u ⋅ v = 0 , para todo v ∈ R^n , então u → = 0 → .
Generalize para o R^n (n = 3) os conceitos e resultados desta seção.