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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 29

Se H (theta) = theta sen theta , encontre H ' ( theta ) e H " ( theta ) .

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos encontrar a primeira e a segunda derivada da seguinte função:

H (theta) = theta sen theta

Para isso, precisaremos aplicar a regra do produto, que é dada por:

(u v)^' = u^' v + u v^'

A gente também precisa ter em mente as seguintes derivadas:

(s e n x)^' = cos x

(cos x)^' = - sen x

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Para derivarmos esta função, devemos aplicar a regra do produto:

H^' (theta) = (d)/(d x) (theta sen theta) :.

H^' (theta) = (d)/(d theta) (theta) xx sen theta + theta xx (d)/(d theta) (sen theta)

Aplicando a derivada da potência e do seno, temos:

H^' (theta) = 1 xx sen theta + theta xx cos theta :.

H^' (theta) = sen theta + theta cos theta

Passo 3

Para encontrarmos H " ( theta ) vamos derivar H ' ( theta ) por meio da regra do produto, lembrando que a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas:

H^(' ') (theta) = (d)/(d x) (sen theta + theta cos theta) :.

H^(' ') (theta) = (d)/(d x) (sen theta) + (d)/(d x) (theta cos theta)

Aplicando a derivada do seno e aplicando novamente a derivada do produto, temos:

H^(' ') (theta) = cos theta + ((d)/(d x) (theta) cos theta + theta (d)/(d x) (cos theta)) :.

H^(' ') (theta) = cos theta + (1) cos theta + theta ( - sen theta ) :.

H^(' ') (theta) = 2 cos theta - theta sen theta

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

H^' (theta) = sen theta + theta cos theta

H^(' ') (theta) = 2 cos theta - theta sen theta

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